2017年STEP(I)真題剖析及詳解

最近有零星的幾個孩子加我微信咨詢STEP考試以及STEP課程輔導(dǎo)的，由于臨到A Level考試季，時間甚是緊張，但是想到她們在奮力拼搏卻感覺到無從下手時，我還是擠出了點時間完成了這次的推文。

本次推文是針對2017年STEP（I）真題的一個剖析和詳解，對2018年即將要參加STEP考試的同學(xué)以及2019年計劃參加STEP考試的同學(xué)都是一個很好的指引和推動，推薦你多看反復(fù)看幾遍此文，一定會讓你對STEP考試有比較深刻的了解，并且能在考試中盡量準(zhǔn)確的找出解題思路和突破口，我把所有題目（共13個題）全部拿出來做了詳解，你對pure，mechanics和probability哪方面更擅長，你自己把握拿捏好，選擇適合自己胃口的6-8個題把它咀嚼掉，好好消化，（雖然只是答對四個題目，就能穩(wěn)拿1，但是我強(qiáng)烈建議在復(fù)習(xí)備戰(zhàn)時期還是多準(zhǔn)備多看幾個合胃口的題開拓一下思路為好。）

Lisa承諾每年都發(fā)詳解，只源于對A Level英國高考探究的熱愛和執(zhí)著，真希望對你們有所幫助，我希望收獲更多這樣的小確幸。

這次不扯淡，直接入題：

 

1. 此題是考察不定積分的換元方法，我管它叫做“湊項法”或者叫“長得一樣原理”（the same method），大家可以在我的公眾號里搜索標(biāo)題為“Antiderivative（不定積分）——湊項法（the same method）”的文章，里面有個視頻，如果你對這種求解不定積分的方法陌生的話，那么我強(qiáng)烈建議你看看這個視頻，相信會對你有很大的幫助。

既然換元公式里的u是什么已經(jīng)告訴你了：

那么我們就要先把它的微分求出來：

 

再對比被積函數(shù)：

仍然找不到一樣的，突破口在哪呢？

對了！被積函數(shù)上下同時乘以

，很快就做出來啦：

 

 

下一個問題是：

還是要對被積函數(shù)處理一下，上下同時乘以sinx，（說明一下，這個其實還是很容易就能想到的，因為上一個小問為了消掉tanx的分母，要上下同時乘以cosx，現(xiàn)在換成cotx，很明顯要上下同時乘以sinx。）

觀察一下哪個是u然后求出du：

則原來的不定積分就是下面的結(jié)果：

 

看question（ii）的第一問：

先找到u然后求出du：

 

最后一個問有點小難：

但是順著（ii）的第一個小問，還是比較容易想到的，怎么樣分母才能出現(xiàn)這個呢？

怎么樣分子才能出現(xiàn)這個呢？

綜合一起，不難發(fā)現(xiàn)，分子和分母同時除以

如下圖：

 

2.?（i）這個小題沒有難度幾乎，定積分的上下限發(fā)生了變化，被積函數(shù)的大小也隨之變化：

（ii）這個小問，有兩種方法解題：第一種仍然是采用（i）的方法，用含有定積分的不等式解題：

（注意在解題過程中都是要注意分別考慮兩種情況的。）

2（ii）的第二種方法是通過求導(dǎo)的方法，因為導(dǎo)數(shù)代表了原函數(shù)增大或減小的速度，導(dǎo)數(shù)越大代表增大或減小的速度越大：

此題首先是考察Integration by parts，大家可以在我的公眾號里搜索題目為“

A Level以及AP微積分中的Integration by parts（分部積分）”的文章，里面詳細(xì)講解了關(guān)于Integration by parts（分部積分）的求解方法，這道題 被積函數(shù)是lnx，所以要用到“對冪”：

然后要把第（i）和第（ii）的結(jié)果利用起來，用他們做定積分的被積函數(shù)，下面的是根據(jù)（i）得出的結(jié)論（注意要分兩種情況）：

下面是根據(jù)（ii）得出的結(jié)論（同樣也是要分兩種情況）：

綜合以上得出答案的結(jié)論：

第2題同樣也屬于承上啟下題，屬于正常思路的題。

 

3.第一個問題是考察切線方程，這個屬于Edexcel A Level C1、FP1共有的知識點，只是求導(dǎo)時需要用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，也就是chain rule，P點和Q點的切線方程很容易求出：

下一個問是求面積的倍數(shù)關(guān)系，首先要求出三角形RST的面積，那就要求出這個三角形三個vertices的坐標(biāo)，點R是兩條切線的交點，S和T分別是兩條切線同y軸的交點：

因此RST的面積很容易如上圖計算出來。

關(guān)于三角形OPQ的面積的求解方法有多種，這里介紹兩種：

第一種是求三角形OPM和OQM的面積和，從而推出三角形RST與三角形OPQ面積的倍數(shù)關(guān)系，具體如下：

第二種方法是在圖中做輔助線PM和QN，用梯形PMNQ的面積減去兩個直角三角形PMO和QNO的面積得出，具體如下：

第3題屬于簡單題，很容易求得的。

4.第4題的設(shè)計讓人一看就感覺很難搞定的感覺，貌似題量好大，它只是需要考生嚴(yán)格謹(jǐn)慎審題然后追隨題目找到解題線索，（i）里的第一個小問，sketch然后找到取值范圍，這是基礎(chǔ)題：

（i）：

接下來的兩個小問也是可以通過圖像的觀察得出結(jié)論：

如何能推出來

這個呢？是的，要用S的代數(shù)式來表述r，

 

求解第（ii）題仍然要先sketch：

通過觀察sketch得出能夠determine T?uniquely的q的取值：

 

同樣通過觀察sketch得出能夠讓T同時取兩個值的q的取值范圍：

最后一個問，有兩種方法，第一種方法，先把要求出來的方程設(shè)成一個模式，（利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)的），然后利用根與系數(shù)的關(guān)系公式求出方程：

第二種方法是用T的代數(shù)式表示r，代入公式

，然后整理求得：

5.第一個問是求rectangle的面積，很容易就寫出來啦：

第二個問：express?s，可以用兩種方法，第一種方法是根據(jù)圓的方程把點R的y-coordinate寫出來，利用tan函數(shù)把點Q的y-coordinate也寫出來，令它們相等，即能寫出s的表達(dá)式：

第二種方法是仍然根據(jù)以上原理，只是步驟發(fā)生了點小變化：

其實上面兩種方法沒有太多區(qū)別。

下一個問是求，也有兩種方法，第一種是運用chain rule，然后單獨求ds/dx，將其代入到的式子里求出：

另一種方法是一開始就把

代入到面積公式中，然后求：

 

因為maximum area happens at stationary point：

最后兩個函數(shù)大部分要用到基本三角函數(shù)公式、二倍角公式。

注意：像show這種證明題，你要先搞清楚要show什么，就是結(jié)論，根據(jù)結(jié)論去想證明思路。

 

6.Question(i)考察的是函數(shù)的連續(xù)性和反證法的運用：

 

Question（ii）

必須滿足兩個條件，才能運用（i）里面的結(jié)論推出（ii）的結(jié)論；條件1是必須是continuous，條件2是在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)必須有nonzero的取值，這兩個條件都需要證明出來：

 

 

Question（ii）的最后一個問就是個計算題，直接上圖：

 

Question（iii），需要花時間思考如何利用（ii），也就是要找到代替（ii）中的g(x)的函數(shù)是什么，應(yīng)該是h'(x)，然后運用Integration by parts證明其滿足（ii）的條件：

 

7.首先把圖形畫出來：

看上面的圖，相信很容易清楚下面兩種方法求解：①利用cosine rule解題：

②運用等邊三角形的centre of rotational symmetry的位置求得：

 

Question （ii）：在三角形LCM中運用cosine rule即可求得：

 

Question 7 （ii）的最后一問的證明如下：

 

Question （iii），運用cosine rule、三角形面積公式、兩角和余弦公式證明如下：

 

8. prove by induction（數(shù)學(xué)歸納法）很容易證明出結(jié)論如下：

第8題的question （i）的第一個問有兩種方法證明，第一種就是仍然運用proof by induction：

第二種方法，運用遞推：

 

第8題的question （i）的第二個問證明如下（同樣運用兩種方法）：

 

第8題的question（ii）：

 

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