N+1學院第7期：數學的故事 · 黃國標 | 美文篇

轉自N+1學院07標哥BBC紀錄片《數學的故事》 ”

第一集：《數學：宇宙的語言》《數學：宇宙的語言》中提到古埃及分數的運用，我覺得很有意思。正好內容中心在準備古埃及數學文化，放假這幾天就去查閱資料，現和大家一起分享探討。

一、古埃及的分數運算
先用一個簡單的例子來理解下古埃及人的分數運算：如何將2個面包均分給3個人？
在現今所使用的分數中，我們當然都知道每個人取2/3。古埃及的人們，是怎么算的呢？
首先，把2個面包分為4個1/2，先給每個人1/2，還剩下1個1/2再3等分，平均分配。這樣每個人分到，即。有趣的是恰好就等。
好，下面我們正式進入古埃及一個問題：如何將九塊面包等分給十個人？
這是記錄在《萊因德紙草書》的問題，因為埃及工人的薪資就是用食物和飲料來支付。那么古埃及人如何解決這個薪資分配問題呢？
古埃及人不是說每個人可以取得，而是說每人（視頻中有介紹）。真叫人難以想象，連都搞不清楚，？所以幾千年來，數學史家一直堅持認為，古埃及人不會使用分數。
古代埃及人在進行分數運算時，只使用分子是1的分數。因此這種分數也叫做埃及分數，或者叫單分子分數。古埃及分數最大的特點是用單分子分數和的形式表達。如果遇到分子不是1時，就進行分數分解，例如剛剛提到的。
實際上《萊因德紙草書》的卷首載錄了一組分數分解表，列出型的分數分解結果，n是從3到101的奇數。古埃及分數運算方式，遭到現代數學家們紛紛責難，認為埃及人之所以未能把算術和代數發展到較高水平，其分數運算之繁雜也是原因之一。
埃及金字塔是舉世聞名的，表明古埃及人具有高超的建筑技巧和超凡的智力，難道最簡單的現代分數也不懂？在探究這個問題前，我們先了解下古埃及人如何表達分數。

二、古埃及如何表達分數
分數對市場中交易量的分配有著重要實際意義，古埃及正是因為這樣實際的問題，開始探索分數應用。那么古埃及人是怎么表達分數呢？
答案是一個神秘色彩的符號——荷魯斯之眼（神靈之眼）。 古埃及人將荷魯斯之眼拆解為6個部份，每個部份各代表著一個分數，構成一個等比級數，相加起來便是一個荷魯斯之眼，代表著1。 即，事實上等式右邊尚差，但古埃及人將其舍去。
雖然埃及人在處停止了，但荷魯斯之眼暗示了更多分數的可能。每次減半，總數無限接近于1，卻永遠也到不了1.這是幾何級數的雛形 埃及分數可說是無窮級數的一種特殊表現形式，無窮級數的一個重要應用就是對函數值逼近，所以用埃及分數對函數值尤其是無理數估值自古以來就收到廣泛重視。
在古印度梵文經典《測繩的法規》中需要造祭壇，就運用埃及分數來逼近π和。直到今天，人們對于許多函數值估算，也都是用埃及分數的有限形式來逼近，例如 。埃及分數在無窮級數理論方面得到廣泛應用，可見單分數的思想無論在過去還是現在，一直在數學領域發揮著其積極作用。古埃及看似“奇葩”的分數運算蘊含了大智慧。
那么接下來就遇到一個關鍵問題：任意一個真分數能否拆成若干個埃及分數和？

三、埃及分數的本質
研究埃及分數對整個數學的發展起推動作用，尤其在數論研究這個領域，有許多埃及分數特性的問題被解決或留待解決.
研究始于一個古老的埃及分數難題：老人彌留之際，將家中11匹馬分給3個兒子，老大1/2，老二1/4，老三1/6.應該如何分馬呢？
二分之一是5匹半馬，總不能把馬殺了吧，正在無奈之際，鄰居把自己家的馬牽來，老大二分之一，牽走了6匹；老二四分之一，牽走了3匹；老三六分之一，牽走了2匹，一共11匹。分完后，鄰居把自己的馬牽了回去，即。
這則故事實際上提出了這樣一個數學問題：如何把有理數分解成3個單位分數之和。即能否存在整數，使得。經過兩千多年的研究，這個問題已經解決清楚。
數學家還更進一步研究一般情況：埃及分數的實質，就是能否把一個真分數拆成若干個單位分數的問題。即對于給定互素的正整數，不定方程，是否有正整數解？
斐波那契（Fibonacci）在其名著《算盤書》（1202年）中最先給出肯定的回答，并指出其具體算法，現叫貪心算法，但沒有證明。直到1880年，英國數學家西爾威斯特（James Joseph Sylvester）才給出第一次有效地證明。即：任給互素的，這樣的整數k和一定存在，滿足不定方程。
但是數學家們研究的步伐并沒有停止，思考在更嚴格的條件下，結論是否依然成立。即：對于給定互素的正整數，不定方程，在什么條件下有正整數解？
數學史上一些未解決的著名猜想就在于指定的特殊值上。例如，取，猜想對于所有，方程都有正整數解。
（注：是一個非常關鍵的特殊值，為什么取這個特殊值，需要很多證明推導）.
這就是關于埃及分數最著名的世界級猜想——歐德斯猜想。歐德斯-施特勞斯猜想（Erd?s–Straus conjecture），簡稱歐德斯猜想，是由匈牙利猶太數學家保羅·埃爾德什與德裔美國數學家恩斯特·斯特勞斯于1948年共同提出的數論猜想。

目前歐德斯猜想未被完全證明。我國已故數學家柯召先生于1978年的證明，即當時，歐德斯猜想成立。包括菲爾茲獎得主、華裔澳大利亞數學家陶哲軒在內的名家都研究過歐德斯猜想，依然無法解決.

四、數學的故事
雖然歐德斯猜想還未能完全證明，但在2015年9月17日數學家陶哲軒宣布破解保羅·埃爾德什在1932年提出的另一個猜想：埃爾德什差異問題，這是個困擾學術界80多年的問題。
2013年，正值埃爾德什的百年誕辰，陶哲軒在其個人社交網絡貼出了一張頗有意義的照片：一位頭發花白、身著西裝的老人與一個穿著藍灰色上衣的小男孩坐在一起。老人一手拿著紙張，另一只拿著筆的手放在鼻子下面，小男孩也低頭注視著紙面。因為過于專注，兩人都沒有注意到鏡頭。

這是一個美麗的故事：照片中的老人就是保羅·埃爾德什，小男孩則是時年10歲的陶哲軒。這是陶哲軒第一次見到埃爾德什.六年之后，16歲的陶哲軒在埃爾德什的推薦下前往普林斯頓大學攻讀博士學位.三十年之后，40歲的陶哲軒破解保羅·埃爾德什差異問題。

看到埃爾德什與陶哲軒這樣美好的故事；想起希臘三賢：蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德是師徒孫關系。近代數學家傅里葉的導師是拉格朗日，拉格朗日曾受到大數學家歐拉的指導，歐拉的老師是約翰伯努利，約翰伯努利的老師是萊布尼茨....這些故事都讓我感受到人是核心，數學傳承才是最好的紀念。
在收集資料的過程中，感受到數學是那樣的自由，她容許各種奇思妙想，而這些奇思妙想往往也是推動其發展的一大動力.。這種想象力的發揮自然帶來藝術家一樣的創作快感，這就是思考數學的一大樂趣。
最后推薦下作家保羅·霍夫曼（Paul Hoffman）寫過一本埃爾德什的傳記《The Man Who Loved Only Numbers》，中文譯作《數字情種》。

【注】
《萊因德紙草書》
《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus）是公元前1650年左右的埃及數學著作，屬于世界上最古老的數學著作之一，作者是書記官阿默斯。內容似乎是依據了更早年代（1849 B.C. ─1801 B.C.）的教科書，是為當時的包括貴族、祭司等知識階層所作，最早發現于埃及底比斯的廢墟中。公元1858年由英國的埃及學者萊因德（A. H. Rhind）購得，故以此命名?，F藏于倫敦大英博物館。
《萊因德紙草書》

陶哲軒
陶哲軒12 歲獲得 IMO （國際奧林匹克數學學術活動）金牌，21歲獲得博士學位，24歲被評為正教授，31歲獲得菲爾茲獎?，F任教于美國加州大學洛杉磯分校（UCLA）數學系，是澳洲惟一榮獲數學最高榮譽“菲爾茨獎”的澳籍華人數學教授，是繼1982年的丘成桐之后獲此殊榮的第二位華人。
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