要學(xué)好專業(yè)課，先學(xué)好數(shù)學(xué)

轉(zhuǎn)自“數(shù)字信號處理輔導(dǎo)”

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要學(xué)好專業(yè)課，先學(xué)好數(shù)學(xué)

王仕奎

 

電子信息類的專業(yè)課，非學(xué)好數(shù)學(xué)不可，否則將步履維艱。

電子信息本來是從物理學(xué)科分離出去的，沒有數(shù)學(xué)學(xué)不好而物理學(xué)得很好的。常言說的“數(shù)理”，即指數(shù)學(xué)和物理，這兩門學(xué)科聯(lián)系是很緊密的。數(shù)學(xué)需要物理來擴(kuò)展范圍，物理需要數(shù)學(xué)來深化。但是，電子信息類課程的數(shù)學(xué)，就本科來說，我認(rèn)為復(fù)數(shù)知識是至關(guān)重要的。

微積分固然重要，但是復(fù)數(shù)知識對于《信號與系統(tǒng)》和《數(shù)字信號處理》等課程，尤其更加重要。復(fù)數(shù)是一個強(qiáng)大的工具，復(fù)雜的過程，通過復(fù)數(shù)來描述，往往將變得很簡單，否則，僅僅用實數(shù)描述，困難將是不同尋常的。就拿我昨天給學(xué)生講的傅里葉級數(shù)來說，顯然按照高等數(shù)學(xué)的介紹，公式長得多，而且沒有進(jìn)一步發(fā)展，即如果信號不是周期的怎么辦？如果是離散信號怎么辦？后續(xù)的討論將會很困難。復(fù)數(shù)在描述同時具有大小和方向的物理量，或者同時具有幅度和相位的物理量時，是很方便的，比僅僅用實數(shù)描述要優(yōu)越很多。

同學(xué)們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好，因此學(xué)習(xí)起來很痛苦，這是當(dāng)代初等教育改革失敗的充分體現(xiàn)，也是大學(xué)各級領(lǐng)導(dǎo)不能充分考慮課程的銜接，忽視部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)的結(jié)果。不考慮數(shù)學(xué)的實際，胡亂設(shè)置教學(xué)計劃，該學(xué)的不教，用處不大的反而亂教，都是誤人子弟的表現(xiàn)。是該對我們的教育進(jìn)行深刻反思的時候了。

在我主持編輯的公眾號《許康華學(xué)術(shù)活動優(yōu)學(xué)》上，最近連續(xù)三天發(fā)了大數(shù)學(xué)家陳省身先生的報告《怎樣把中國建為數(shù)學(xué)大國》，陳先生說，沒有復(fù)數(shù)，就沒有電學(xué)，就沒有現(xiàn)代文明，這句話一點(diǎn)也不夸張，恰如其分地說明了復(fù)數(shù)的重要性。

 

電子信息類專業(yè)課程，根據(jù)性質(zhì)的不同，可能重點(diǎn)用到的數(shù)學(xué)知識不同，有的微積分用得多，有的三角函數(shù)用得多，但是，對于本公眾號，即進(jìn)行數(shù)字信號處理系列課程輔導(dǎo)，毫無疑問，復(fù)數(shù)是最重要的，非下苦功學(xué)好不可。只有學(xué)好數(shù)學(xué)，才談得上專業(yè)課的其他各種學(xué)習(xí)技巧；否則，連走路都不會的人，和他講跑步和跳遠(yuǎn)的各種技巧，不是太可笑了嗎。

要學(xué)好專業(yè)課，先要學(xué)好數(shù)學(xué)！

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附：陳省身《怎樣把中國建為數(shù)學(xué)大國》

怎樣把中國建為數(shù)學(xué)大國？

陳省身

 

本文刊于數(shù)學(xué)進(jìn)展，第20卷第2期，1991年4月。

1990年10月26日在臺灣成功大學(xué)，10月29日在中興大學(xué)演講。本文將收錄至《陳省身文選》(臺灣聯(lián)經(jīng)出版杜出版)。應(yīng)《陳省身文選》編者張洪光同志之請，陳省身教授將本文于1990年12月10日寄給他供工作之用，我們按張洪光同志的供稿刊出。

——《數(shù)學(xué)進(jìn)展》編輯注

一、引言

先從我個人說起：我1926年入天津南開大學(xué)，1930年數(shù)學(xué)系畢業(yè)。那時我的老師姜立夫先生是極少數(shù)有博士學(xué)位的人。現(xiàn)在聽說在臺灣的數(shù)學(xué)博士在二百人以上，全世界的中國數(shù)學(xué)博士當(dāng)超過千人。在這樣的基礎(chǔ)上，如何使中國的數(shù)學(xué)發(fā)展，使在廿一世紀(jì)的數(shù)學(xué)史上，中國是一個重要的區(qū)城，自然值得我們深思。

今年一件值得慶祝的事，是中國在國際數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(International Mathematical 0lympiad)獲得第一(第二、三名依次為蘇聯(lián)及美國)。不但如此，中國總分超出第二名蘇聯(lián)甚遠(yuǎn)。參加者中，有四人得滿分，其中兩個是中國人。中國參加這學(xué)術(shù)活動不久；1988年得第二名，去年(1989)也是第一名。

這項學(xué)術(shù)活動是高中程度，不包括微積分。但題目需要思考，我相信我是考不過這些小孩子的。因此有人覺得，好的數(shù)學(xué)家未必長于這種考試。學(xué)術(shù)活動勝利者也未必是將來的數(shù)學(xué)家。這個意見似是而非。數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動大約是在百年前在匈牙利開始的：匈牙利產(chǎn)生了同它的人口不成比例的許多大數(shù)學(xué)家！

在最高深最活躍的數(shù)學(xué)方面，中國數(shù)學(xué)家亦有許多杰出的工作，無法盡舉，簡述若干如下：(一)1983年丘成桐教授因為Calabi 猜想及普通相對論的正質(zhì)量猜想的證明，獲得國際數(shù)學(xué)會議的Fields獎?wù)?，這是一個重要的國際數(shù)學(xué)獎。(二) 美國數(shù)學(xué)會每年選擇一個最活動的專題，作為暑期節(jié)目(Summer Institute)的中心課題，集國際上這方面的專家，舉行為期約三周的工作營。1988和1990的題目分別是“多復(fù)變函數(shù)”和“微分幾何”。這兩科目里中國數(shù)學(xué)家是突出的。微分幾何會丘成桐是主持人之一。兩會中作特約演講者有蕭蔭堂、莫毅明、田剛、項武義、李偉光等。中國這方面的人數(shù)，超過百人。其中才智之士，即將脫穎而出者，不可勝數(shù)。舉莫毅明教授為例，他現(xiàn)在是巴黎大學(xué)教授。巴黎是二十世紀(jì)大數(shù)學(xué)家龐加萊(Henri Poincare)的根據(jù)地。莫毅明班門弄斧，令人佩服。(三) 項武義教授最近解決了球裝(Sphere Packing) 的問題。這問題有近四百年的歷史，是一項富有歷史意義的工作。

這個單子還可繼續(xù)寫下去。近年來中國數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，是不可忽視的。

數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)家究竟做些什么事？一個嚴(yán)格的定義會引我們進(jìn)入一死胡同。大致說來，數(shù)學(xué)利其他科學(xué)一樣，它的發(fā)展基于兩個原因：(一) 奇怪的現(xiàn)象；(二) 數(shù)學(xué)結(jié)果的應(yīng)用。一個例子是以下的“幻方”，其中的九個不同的數(shù)目，橫加、直加，和沿兩條對角線的和都是15。可惜幻方只是一個奇跡，沒有什么應(yīng)用。另外的一個奇跡，圓周長L對直徑d的比率，L/d = π，是一個常數(shù)。這個結(jié)果可是重要了！π這個數(shù)滲透了整個數(shù)學(xué)!

 

楊振寧先生講過這樣的故事：我們都知道，德國大數(shù)學(xué)家高斯(C. F.Gauss，1777-1855)在讀小學(xué)的時候，老師出了一個題目：求1 + 2+ 3 + … + 某數(shù)的和。同學(xué)們都用死算，高斯卻獲得一個公式、可以立刻求得答案。方祛是命

S = 1 +2 + 3 + … + n，

將各項倒過來寫，則得

S = n + (n- 1) + (n - 2) + … + 1。

由此可見每列兩個數(shù)的和都是n?+?1。因有n?列，得

2S = n(n + 1)??即??S = n(n?+?1)/2。

振寧把這算法講給他的孩子聽，大家都了解和欣賞。但一年后問起這個問題，卻都忘了。楊振寧、陳省身同比我們更聰敏的人不同的地方，是我們了解這個推論的美、的力量，聽過之后，永遠(yuǎn)不忘。

談到數(shù)學(xué)的欣賞，讓我再講一個故事：當(dāng)代有名的數(shù)論大家Atle?Selberg?(1917- )?曾經(jīng)說，他喜歡數(shù)學(xué)的一個動機(jī)，是以下的公式：

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -…。

這個公式實在美極了，單數(shù)1，3，5，…這樣的組合可以給出π。對于一個數(shù)學(xué)家來說，此公式正如一幅美麗的圖畫或風(fēng)景。凡讀過初等微積分的人大多應(yīng)碰到這個公式。如果只因為考試而背誦它，這個人便不必讀數(shù)學(xué)。

二、數(shù)學(xué)史上的幾件大事

不管數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)家在繼續(xù)推展它的范圍。最奇妙的，是新數(shù)學(xué)得到不能想像的應(yīng)用。數(shù)學(xué)工作的主要目的，是了解新數(shù)學(xué)的性質(zhì)，尤其是它與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不同的地方。結(jié)果把奧妙變?yōu)槌ＷR，復(fù)雜變?yōu)楹唵?，?shù)學(xué)便成為科學(xué)的有力而不可缺少的工具。

茲舉數(shù)學(xué)在歷史上的若干進(jìn)展為例：

(一) 一本劃時代的書是歐幾里得 (Euclid，約300 BC) 的“幾何原本”。它把空間的幾何性質(zhì)，從一組公理出發(fā)，用邏輯推得。歐書范圍其實不限于幾何。這本書把數(shù)學(xué)建為一項系統(tǒng)的學(xué)間，不再是一堆匯集的問題。歷史上有一段時間，歐書也用來練習(xí)推理，成為一本通俗的教科書。

(二)?歐書討論的范圍，限于平面上的直線、圓周、和空間的相當(dāng)圖形。等到Descartes(1596 - 1650)?引進(jìn)解析的方法，便可研究平面上由任意方程

所定的曲線。幾何的范圍擴(kuò)大了！?但任意曲線或任意函數(shù)的研究要等Newton?(1642- 1727)和Leibniz?(1646 - 1716)?的微積分的發(fā)現(xiàn)，才特別有效。這個時期另一個重要的數(shù)學(xué)家是Fermat?(1601- 1665)。他同時發(fā)現(xiàn)了許多解析幾何和微積分的觀念，可惜他在生前未曾發(fā)表。

(三)?微積分的一個基本新觀念是無窮：?無窮大或無窮小。由無窮便引到極限。澄清這些觀念不是一件容易的事，費(fèi)了數(shù)學(xué)家約兩百年的時間。它牽涉到實數(shù)系統(tǒng)、拓?fù)浜蛿?shù)學(xué)的基礎(chǔ)。一個關(guān)鍵的人物是Cantor?(1845- 1918)。他的點(diǎn)集論獨(dú)創(chuàng)新意，高腧遠(yuǎn)矚，為數(shù)學(xué)立了基礎(chǔ)。

(四)?數(shù)學(xué)上另一個基本概念是群。最早的問題是解代數(shù)方程，要把任意方程

的根表為系數(shù)的只含根號的函數(shù)。要回答這個問題，需要群的觀念。最先認(rèn)清這個關(guān)系的，是法國的年輕數(shù)學(xué)家Galois?(1811- 1832)。群的觀念從此深人到每個數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

在幾何方面有變換群。?歐氏空間的全體運(yùn)動組成一個群。其他還有投影變換群，等角變換群等等。這種群是無限的，他的元素組成一個空間。他們都是李群的特例。創(chuàng)始人Lie(1842- 1899)?是挪威的數(shù)學(xué)家。?李群是數(shù)學(xué)上一個基本的概念。

有限群的研究是很困難的。要了解它們的結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)家把它們分解為單群。但是單群并不“簡單”：有許多極大的有限單群。當(dāng)代領(lǐng)袖的代數(shù)學(xué)家說：有限的單群已經(jīng)完全確定了?？墒沁@個定理的證明，需要二千頁，也還沒有人把它完全寫下來。

(五)?上面說過，解析幾何推廣圖形的范圍。最普通的一個情形，是在n維空間Rn內(nèi)，討論一組方程式

流形把空間的觀念擴(kuò)大了。在微分流形上可以用微積分的工具，實施種種運(yùn)算。這個發(fā)展使微分幾何成為數(shù)學(xué)的一個中心領(lǐng)域。

(六)?請容許我談一些同我個人工作有關(guān)的一個方面，即所謂纖維叢和連絡(luò)。我們有種種特殊的空間，如歐氏空間、矢量空間、仿射空間等等。我們也有一般的拓?fù)淇臻g。前者有深刻的性質(zhì)，后者富于普遍性。纖維叢是把兩者串連起來的一個觀念。它是一個自然的發(fā)展，也十分有用。它有局部的性質(zhì)和整體的性質(zhì)。?前者容易描寫和度量，后者選出重要的性質(zhì)。纖維叢的現(xiàn)象出現(xiàn)于數(shù)學(xué)的各部門，?和理論物理。

物理上有四種力：核力、電磁力、引力和弱力?，F(xiàn)在大家公認(rèn)：這四種力的能都是規(guī)范場。纖維叢的連絡(luò)是規(guī)范場論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

三、當(dāng)前的數(shù)學(xué)界

二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個現(xiàn)象，是職業(yè)數(shù)學(xué)家人數(shù)的大量增加。美國幾個數(shù)學(xué)會的全體會員錄列五萬六千多人，其中絕大多數(shù)是有博士學(xué)位的。

數(shù)學(xué)成為一個社會現(xiàn)象，大約發(fā)生于一百年前。今年德國數(shù)學(xué)會慶祝成立一百周年。前年則有美國數(shù)學(xué)會成立百年紀(jì)念。國際數(shù)學(xué)家會議的首次會于1897年在瑞士Zurich舉行，會期三天。第一個演講者是法國的龐加菜，題目是“純分析同數(shù)學(xué)物理的關(guān)系”(龐氏因病未能出席，演講由人代讀)。值得注意的是這題目今天仍適用，但“分析”似應(yīng)改為“幾何”。國際數(shù)學(xué)會議每四年舉行一次，今年八月在日本京都。1994年將回到Zirich開會。

另一個現(xiàn)象是計算機(jī)的侵入。計算機(jī)引發(fā)了許多新的課題，如Recursive Functions，如Complexity，如Fractals等等。它對于許多數(shù)學(xué)工作有用，也使若干問題改觀。但究竟影響有多大，則是一個聚訟的問題。數(shù)學(xué)天地雖小，也是很熱鬧的。

計算機(jī)的立刻的影響，恐怕是數(shù)學(xué)教育。從前需要學(xué)習(xí)的某些方法，現(xiàn)在不再需要，至少應(yīng)該改變。這種討論對于數(shù)學(xué)的發(fā)展是健康的。

第二次世界大戰(zhàn)以后，科學(xué)受到重視，數(shù)學(xué)研究也得到社會的支持。有些人可靠做研究生活。這個情形的一個效果，是使得數(shù)學(xué)工作者同相類的工作者有相類的待遇，因此能吸收有才能的新人進(jìn)入工作的行列。

一個發(fā)展是研究所的成立。最早而最有名的是Princeton 的Institute for Advanced Study。這個故事值得一講！二十年代美國紐約的大百貨公司Macy公司的老板Louis Barmburger決定捐一大筆款辦理科學(xué)事業(yè)，問計于教育家W. Flexner。F先生的建議說：“你的捐款數(shù)目很大，但是不足以辦一個第一流的試驗科學(xué)研究所。如果側(cè)重數(shù)學(xué)，則可能是第一流的”。B 先生聽了他的話。恰好德國希特勒于1933取得政權(quán)，IAS請到愛因斯坦、Hermann Weyl 等教授。不出十年，Princeton 成了世界數(shù)學(xué)研究的中心。

IAS?的主要節(jié)目，是網(wǎng)羅年輕有為的數(shù)學(xué)家，給他們優(yōu)良的環(huán)境和工作機(jī)會。作者第一次在那里，是1943 -45，完成了我一生最重要的工作。此恩令人難忘。以后我還去過三次(短期訪問不計)，都給我愉快的回憶。

繼起的研究所有：巴聚的Institut??des?Hautes?Etudes，英國Warwick?的Mathematics Institute，日本京都的Mathematical?Sciences?Research?Institute，Bonn?的Max?Planck?Institut，以及巴西、墨西哥等研究所。最近成立的有蘇聯(lián)列寧格勒的研究所，和正在計劃中的英國劍橋的牛頓研究所。這些研究所都有著名的常任研究人員，廣泛的節(jié)目，也十分歡迎合格的訪問數(shù)學(xué)家。

講到研究所，自然應(yīng)提到Berkeley?的MSRI，因為我曾經(jīng)起過若干作用。這是美國國家基金會支持的，是美國第一個政府辦的數(shù)學(xué)研究所。在一個民主的國家，這種事要經(jīng)過長期的醞釀。等到?jīng)Q定舉辦以后，它的地點(diǎn)更是大家爭逐的目標(biāo)。?我同I. Singer及C. C. Moore?送進(jìn)一份計劃書以后，沒有做過任何爭取的努力。我可以想像Berkeley?計劃的優(yōu)點(diǎn)，獲選并非偶然。1982年成立以來，備受好評。

盡管大家鼓吹交流和合作，我相信數(shù)學(xué)研究主要靠個人。一個人的創(chuàng)見是努力和靈感的結(jié)晶，不是同一群人討論的結(jié)論。數(shù)學(xué)是一個廣泛而復(fù)雜的學(xué)間，自然需要吸收各方面的知識和觀點(diǎn)。但更要緊的是要有個人的風(fēng)格。

數(shù)學(xué)的研究與其他科學(xué)相比，?有一個顯著的不同的地方：它是向多方面發(fā)展的。當(dāng)今的物理科學(xué)和生物科學(xué)往往有幾個主題。但數(shù)學(xué)的研究方向比較可隨個人自由選擇。所以工作不必集中于幾個大的中心，研究人員可較分散。一個有能力有決心的人，可以隨不同的途徑，完成他的志愿。

二十世紀(jì)是數(shù)學(xué)的一個黃金時代。

四、純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)上一個極大的謎是：為什么數(shù)學(xué)會有用？

近來一種風(fēng)氣，是在數(shù)學(xué)機(jī)構(gòu)上，加“應(yīng)用”兩字。其實純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是很難劃界的。再舉一個例：代數(shù)拓?fù)渲杏兴^“結(jié)”論(knot theory)，問空間繩子的結(jié)，是否可不經(jīng)剪斷而解開。例如下圖的梅花結(jié)就解不開。這個問題在分子生物學(xué)DNA的結(jié)構(gòu)研究中，極為重要。所以生物學(xué)家需要學(xué)微分幾何與代數(shù)拓?fù)?。柏克菜的V. Jones 教授因為“結(jié)”論與算子代數(shù)的工作，獲國際數(shù)學(xué)會的1990年Fields獎。他引進(jìn)了結(jié)的新的不變式，現(xiàn)稱為Jones 多項式。

科學(xué)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)。但是歷史告訴我們，他們所需要的數(shù)學(xué)，往往為數(shù)學(xué)家所已發(fā)展。這是數(shù)學(xué)家值得自豪的，也是一件十分神秘的事實。

我相信數(shù)學(xué)是有內(nèi)容的，不完全是邏輯。廿世紀(jì)數(shù)學(xué)中的菩薩包括黎曼(Riemann)、龐加萊。大致說來，黎曼把數(shù)學(xué)建立在流形的觀念上，龐加萊則發(fā)展高維的數(shù)學(xué)。流形不必光滑，非緊致的流形將有更多幾何性質(zhì)，若千無限維流形會有美麗的現(xiàn)象，這些都是可以期望的遠(yuǎn)景。

兩千年的數(shù)學(xué)發(fā)展是連續(xù)的。這個現(xiàn)象當(dāng)可繼續(xù)。不過十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)將是一個新的天地。世變不可知，可引以自慰的是數(shù)學(xué)是一個堅固的結(jié)構(gòu)。我想有人類就有數(shù)學(xué)！

五、結(jié)??論

中國數(shù)學(xué)的發(fā)展已具有充分的條件，不妨考慮一下當(dāng)前有些什么事可做：

(1) 要有信心。千萬把自卑的心理放棄，要相信中國會產(chǎn)生許多國際第一流的數(shù)學(xué)家。也沒有理由中國不能產(chǎn)生牛頓、高斯級的數(shù)學(xué)家。

法國文學(xué)家Romain?Roland?寫過一本書，?記載中古時代德國音樂家在羅馬的故事。羅馬人笑他們，這種野蠻的人，如何懂音樂？?沒有多少年德國出了Bach，Beethoven。我做學(xué)生的時候，曾經(jīng)看見日本人寫的文章，說中國人只能習(xí)文史，不能念科學(xué)。這種荒謬的說法當(dāng)時也可言之成理。

中國應(yīng)建立若干基地。交流仍是必要的，但應(yīng)求逐漸對等。

(2) 希望社會能認(rèn)識中國成為數(shù)學(xué)大國是民族的光榮，而予以鼓勵和支持。例如：不要把數(shù)學(xué)家看成“怪人”。中國沒有出牛頓、??高斯這樣偉大的數(shù)學(xué)家是社會的、經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)象。中國的大數(shù)學(xué)家，如劉徽、祖沖之、李治等都生逢亂世。我想治世時聰敏人都去求功名做官去了。這情形現(xiàn)在并沒有改變。要提倡數(shù)學(xué)，必須給數(shù)學(xué)家適當(dāng)?shù)纳鐣匚缓痛觥?/p>

愿中國的青年和未來的數(shù)學(xué)家放大眼光展開壯志，把中國建為數(shù)學(xué)大國！

(1990年11月于美國加州)