備考攻略丨AP物理中典型的滑輪問題如何解決？

滑輪問題是典型的物理力學問題，不僅在AP physics的各門考試中出現，在IB考試和SAT2 physics考試中也經常出現。典型的滑輪問題：通常會給出物體質量，讓同學們

計算釋放之后物體的加速度（acceleration）a以及繩子中的張力（tension force)FT。（如下圖）

滑輪問題的特點是：包含多個研究對象，解決起來相對復雜。

滑輪問題又可以分為兩種情況：滑輪質量可以忽略與滑輪質量不能忽略。

在講解如何解決此兩類問題之前，要先強調兩點：

FT與物體的重力（weight）不相等

盡量不要采用整體法來研究此類問題

當研究一個復雜的問題的時候，我們的基本思路是將復雜問題轉化成若干簡單問題的疊加。有兩層意思：首先，我們要將一個復雜的問題拆分成若干個簡單的問題；其次，我們要找到這些簡單問題之間的聯系。

滑輪問題的復雜性體現在所需要研究的系統存在多個物體，要注意基本思路是：對每個物體單獨做受力分析，并根據牛頓第二定律?Fnet=ma 列方程，然后找到各個物體之間的受力與運動之間的聯系。

接下來，分別針對兩種不同情況進行分析:

1、當滑輪質量可以忽略的時候

此種情況相對簡單，因為滑輪沒有質量，所以滑輪兩邊的FT相等，可以看做是m與M之間的相互作用力（action-reaction）。這就是物體之間受力的聯系。每個物體都受到兩個力的作用——FT和自身的重力（weight）。

但是，因為當物體被釋放時，兩個物體都在做加速運動，所以此二力不相等（注意！）。

另外，由于繩子的長度不變，所以兩個物體的a大小相等。這就是物體之間運動的聯系。

由此，我們可以根據牛頓第二定律列出下面的兩個方程：

其中只有兩個未知數——FT與a，此題可解。

同學們在做題的時候比較容易犯的錯誤是誤將FT當作與mg相等，從而得出錯誤答案。其錯誤的本質是希望只通過列一個方程就解出答案。但是在研究類似的復雜問題的時候，我們往往需要列出多個方程。

另外，有的同學希望可以用整體法來解此類問題，即將m與M看做一個整體，這樣可以只列出一個方程：Mg-mg=（M＋m）a 就解出a，但并不建議大家這樣做。

原因是這樣看似簡單，卻容易出錯，而且只能計算出a，如果要計算FT還是要再列方程求解；更重要的是，這種方法只能在滑輪質量忽略不計的情況下使用，如果考慮到滑輪存在質量的情況，此種方法就不適用了。接下來，我們就來討論一下這種情況。

2、當滑輪質量不能忽略

當滑輪的質量Mpulley不能忽略時，m與M在做平動運動（linear motion），滑輪在做轉動運動（rotational motion）。

當我們研究滑輪的轉動時，要考慮到滑輪存在轉動慣量（moment of inertia）I（通常滑輪可以看做圓盤，所以 I=(1/2)MpulleyR?2; 其中R為滑輪半徑）以及角加速度（angular acceleration）α，根據轉動動力學（rotational dynamics)τnet=Iα, 作用在滑輪上的靜力矩（net torque）不能為0，故此時滑輪兩端的FT大小不相等。

這也就是整體法不適用的原因。

這里我們假設與m和M相連的繩子中的張力分別為FTm和FTM，所以作用在滑輪上的

（同一段繩子上的張力相等）。這就是物體之間受力的聯系。

由于繩子長度不變，所以兩個物體的a大小仍然相等。而且，物體的a就等于繩子上任意一點的a（包括與滑輪接觸的點），如果繩子不打滑，繩子上與滑輪接觸的點與滑輪邊緣上的點應該具有相同的a。

根據平動與轉動的關系，我們可以得出a=αR。這就是物體之間運動的聯系。

由此，我們可以根據牛頓第二定律、轉動動力學和平動與轉動的關系列出下面的四個方程：

其中只有四個未知數——FTM 、FTm、 a 與α此題可解。同學們在解決這類問題的時候比較容易犯的錯誤是忽略了滑輪的轉動效果，錯認為滑輪兩端的FT相等，將其當作第一種情況來解答，從而得出錯誤答案。

所以同學們在做滑輪問題的時候一定要把題目條件看清楚（主要是滑輪是否有質量）。當然，在接觸滑輪問題的時候也可能會碰到其他的情況。

比如：其中一個物體放置在水平桌面上（甚至是斜面上）；滑輪是由兩個半徑不同的圓盤粘合而成；需要通過能量的方法來計算物體的速度等等。

不管問題怎么變化，我們基本的解題方法是相同的：首先，對每個物體單獨進行受力分析，并根據

能量守恒（conservation of energy）等物理學規律針對每個物體列方程；

其次，找到物體之間受力的聯系，主要依據是牛頓第三定律（action-reaction）；

最后，找到物體之間運動的聯系：根據繩長不變可得出做平動運動的物體位移（displacement）、速度（velocity）、加速度（acceleration）大小相等，根據平動與轉動之間的關系可得出a=αR、v=ωR（其中ω為轉動角速度angular velocity）等等。