2021 AMC12B第25題解析！AMC12B最后一題解析

2021 AMC12B第25題解析！AMC10/12考試已經結束了，大家當前需要將重點放在試題解析上，為之后的考試做準備，下面就一起來看看最后一題是什么，以及我們應該如何解析。

Question 25

For n a positive integer, let R(n) be the sum of remainders when n is divided by 2,3,4,5,6,7,8,9,and10. For example, R(15)=1+0+3+0+3+1+7+6+5=26. How many two-digit positive integers n satisfy R(n)=R(n+1)?

首先我們考慮正整數n除以m的余數以及n+1除以m的余數，容易想到，后者要么比前者大1，要么比前者小m-1（此時n+1為m的倍數）。

情況1：

如果n是偶數，則n+1是奇數，那么對于所有偶數m來說，因為n+1不可能是m的倍數，所以n+1除以m的余數必然會比n除以m的余數大1，見下表：

為了使R(n)=R(n+1)，只能取8個1和一個-8，但此時n+1是9的倍數，那也就是3的倍數，所以3為除數會產生-2而不是1，矛盾。這就說明，n不可能是偶數。

情況2：

如果n是奇數，則n+1是偶數，所以2為除數會產生-1。我們繼續討論，如果n+1是6的倍數，那么它也是3的倍數，這樣會產生-2和-5，而另外幾個數加起來最多是+6，這是配不平的；同理n+1也不能是8,9,10的倍數。這樣，不確定的就只有除數為4和7的時候，見下表：

為了使R(n)=R(n+1)，只能取一個-1，一個-6和7個1，此時n+1是2和7的倍數，也就是14的倍數，但不能是3,4,5,6,8,9,10的倍數。所以在100以內滿足這些條件的n+1只有14和98，也就是n=13或97。答案選C。

總體來說，這次的25題沒有往年那么難以想到或者計算量驚人，只要有一定的數論基礎，加上細心和耐心就可以做出來。

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