1數論
一、質數和合數（1）一個數除了?1?和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）。
一個數除了?1 和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。
（2）自然數除?0?和?1?外，按約數的個數分為質數和合數兩類。
任何一個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。
要特別記住：0 和 1 不是質數，也不是合數。
（3）?最小的質數是?2?，2?是唯一的偶質數，其他質數都為奇數；最小的合數是?4。
（4）?質數是一個數，是含有兩個約數的自然數。
互質數是指兩個數，是公約數只有一的兩個數，組成互質數的兩個數可能是兩個質數（３和５），
可能是一個質數和一個合數（３和４），可能是兩個合數（４和９）或?1 與另一個自然數。
（５）如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數。
把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。
（６）１００以內的質數有２５個：
２、３、５、７、１１、１３、
１７、１９、２３、?２９、３１、
３７、４１、４３、４７、５３、
５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．
二、整除性
（１）概念
一般地，如?a、b、c?為整數，b≠0，且?a÷b=c，即整數?a?除以整除?b（b?不等于?0），?除得的商?c?正好是整數而沒有余數（或者說余數是?0），我們就說，a?能被?b?整除（或者說b?能整除?a），記作?b｜a。否則，稱為?a?不能被?b?整除（或?b?不能整除?a）。
如果整數?a 能被整數 b 整除，a 就叫做 b 的倍數，b 就叫做 a 的約數。
（２）性質
性質?1：（整除的加減性）如果 a、b 都能被 c 整除，那么它們的和與差也能被 c 整除。即：如果 c｜a，c｜b，那么 c｜（a±b）。
例如：如果?2｜10，2｜6，那么 2｜（10＋6），并且 2｜（10—6）。也就是說，被除數加上或減去一些除數的倍數不影響除數對它的整除性。
性質?2：如果?b?與?c?的積能整除?a，那么?b?與?c?都能整除?a.
即：如果?bc｜a，那么?b｜a，c｜a。
性質?3：（整除的互質可積性）如果 b、c 都能整除 a，且b 和 c 互質，那么 b 與 c 的積能整除 a。
即：如果?b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么 bc｜a。
例如：如果 2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性質?4：（整除的傳遞性）如果?c?能整除?b，b?能整除?a，那么?c?能整除?a。
即：如果?c｜b，b｜a，那么?c｜a。
例如：如果?3｜9，9｜27，那么 3｜27。
（３）數的整除特征
①能被 2 整除的數的特征：個位數字是 0、2、4、6、8 的整數.
②能被 5 整除的數的特征：個位是 0 或 5。
③能被 3（或 9）整除的數的特征：各個數位數字之和能被 3（或 9）整除。
判斷能被 3（或 9）整除的數還可以用“棄３（或９）法”：
例如：８３５１７４６能被９整除么？
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在數字中只剩７，７不是９的倍數，所以８３?５１７４６不能被９整除。
④能被 4（或 25）整除的數的特征：末兩位數能被 4（或 25）整除。
⑤能被 8（或 125）整除的數的特征：末三位數能被 8（或 125）整除。
⑥能被 11 整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大減小）是?11 的倍數。
⑦能被 7（11 或 13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被 7（11 或 13）整除，依此反復檢驗。
例如：判斷?3546725 能否被 13 整除？
解：把?3546725 分為 3546?和?725?兩個數.因為?3546-725=2821.再把 2821 分為 2?和?821?兩個數，因為?821—2＝819，又?13｜819，所以?13｜2821，進而?13｜3546725.
上述辦法也可以用來判斷余數和末位數；
對于其他的數，可以將其分解成上述幾個互質的數的乘積，再逐個考慮。
三、約數與倍數
（１）公約數和最大公約數
幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。
例如：４是12和16的最大公約數，
可記做：（12，16）＝４
（２）公倍數和最小公倍數
幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
例如：36?是?12?和?18?的最小公倍數，記作[12，18]=36。
（３）最大公約數和最小公倍數的關系
如果用?a 和 b 表示兩個自然數
１、那么這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數關系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。（多用于求最小公倍數）
２、（a，b）?≤?a?，b?≤?[a，b]
３、[a，b]是（a，b）的倍數，（a，b）是[a，b]的約數
４、（a，b）是?a＋b?和?a－b?的約數，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－[a，b]的約數
（４）求最大公約數
方法很多，主要推薦：短除法、分解質因數法、輾轉相除法。
例如：１、（短除法）用一個數去除?30、60、75，都能整除，這個數最大是多少？
解?：∵ （30，60，75）=5×3=15 這個數最大是 15。
２、（分解質因數法）求１００１和３０８的最大公約數是多少？
解：１００１＝７×１１×１３（這個質分解常用到）?，
３０８＝７×１１×４?所以最大公約數是７×１１＝７７
在這種方法中，先將數進行質分解，而后取它們“所有共有的質因數之積”便是最大公約數。
３、（輾轉相除法）用輾轉相除法求?4811?和?1981?的最大公約數。
解：
∵4811=2×1981+849
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴（4811，1981）=283。
補充說明：如果要求三個或更多的數的最大公約數，可以先求其中任意兩個數的最大公????約數，再求這個公約數與另外一個數的最大公約數，這樣求下去，直至求得最后結果。
（５）約數個數公式
一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）加?1 的連乘的積。
例如：求?240 的約數的個數。
解：∵240＝24×31×51，
∴240 的約數的個數是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240 有 20 個約數。
四、奇偶性
（1）?奇數和偶數
整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被 2 整除的數叫做偶數，不能被 2 整除的數叫做奇數。
偶數通常可以用?2k（k 為整數）表示，奇數則可以用 2k+1（k 為整數）表示。特別注意，因為 0 能被 2 整除，所以 0 是偶數。
最小的奇數是１?，最小的偶數是０．
（2）奇數與偶數的運算性質
性質?1：偶數±偶數=偶數， 奇數±奇數=偶數。
性質?2：偶數±奇數=奇數。
性質?3：偶數個奇數相加得偶數。
性質?4：奇數個奇數相加得奇數。
性質?5：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數偶數×偶數=偶數
（３）反證法
例：桌上有?9 只杯子，全部口朝上，每次將其中 6 只同時“翻轉”.
請說明：無論經過多少次這樣的“翻轉”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必須經過奇數次“翻轉”.要使 9 只杯子口全朝下，必須經過 9個奇數之和次“翻轉”.即“翻轉”的總次數為奇數.
但是，按規定每次翻轉?6?只杯子，無論經過多少次“翻轉”，翻轉的總次數只能是偶數次.因此無論經過多少次“翻轉”，都不能使?9?只杯子全部口朝下。
這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方法.
先假設某種說法正確，再利用假設說法和其他性質進行分析推理，最后得到一個不可能成立的結論，從而說明假設的說法不成立.
這種思考證明的方法在數學上叫“反證法”。
五、大小比較
1.比較整數大小：比較整數的大小，位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大，那個數就大；最高位上的數相同，就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。
2.比較小數的大小：先看它們的整數部分，，整數部分大的那個數就大；整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大；十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大……
3.比較分數的大小：分母相同的分數，分子大的分數比較大；分子相同的數，分母小的分數大。分數的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數的大小。
六、數列
七、集合
八、函數
1、定義與定義式：
自變量?x 和因變量 y 有如下關系： y=kx+b
則此時稱?y 是 x 的一次函數。
特別地，當?b=0 時，y 是 x 的正比例函數。
即：y=kx(k 為常數，k≠0)
2、一次函數的性質：
1）.y?的變化值與對應的?x?的變化值成正比例，比值為?k 即：y=kx+b(k?為任意不為零的實數?b 取任何實數)
2）.當?x=0?時，b?為函數在?y?軸上的截距。
3、一次函數的圖像及性質：
1）.作法與圖形：通過如下 3 個步驟(1)列表；
(2)?描點；
(3)?連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道?2?點，?并連成直線即可。(通常找函數圖像與?x?軸和?y?軸的交點)
2）.性質：
(1)在一次函數上的任意一點 P(x,y)，都滿足等式：y=kx+b.
(2)一次函數與 y 軸交點的坐標總是(0，b)，與 x 軸總是交于(-b/k,0)正比例函數的圖像總是過原點。
3）.k,b 與函數圖像所在象限：
當?k>0?時，直線必通過一、三象限，y?隨?x?的增大而增大；?當?k<0?時，直線必通過二、四象限，y?隨?x?的增大而減小。
當?b>0?時，直線必通過一、二象限；
當?b=0 時，直線通過原點
當?b<0 時，直線必通過三、四象限。
特別地，當?b=O 時，直線通過原點 O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。
這時，當?k>0?時，直線只通過一、三象限；當?k<0?時，直線只通過二、四象限
4、確定一次函數的表達式：
已知點?A(x1，y1)；B(x2，y2)，請確定過點 A、B 的一次函數的表達式。
(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為 y=kx+b.
(2)?因為在一次函數上的任意一點?P(x,y)，都滿足等式?y=kx+b.所以可以列出?2?個方程：?y1=kx1+b……①和?y2=kx2+b……②
(3)?解這個二元一次方程，得到?k,b?的值。
(4)最后得到一次函數的表達式。
5、一次函數在生活中的應用：
1.?當時間?t?一定，距離?s?是速度?v?的一次函數。s=vt.
2.?當水池抽水速度?f?一定，水池中水量?g?是抽水時間?t?的一次函數。設水池中原有水量S.g=S-ft.
6、常用公式：
1.?求函數圖像的?k?值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.?求與?x?軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.?求與?y?軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
2幾何
一、幾何面積知識點
1、基本思路：
在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。
2、常用方法：
a.?連輔助線方法
b.?利用等底等高的兩個三角形面積相等。
c.?大膽假設(有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上)。
d.?利用特殊規律
①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面積)
②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。
③圓的面積占外接正方形面積的 78.5%。
3、基礎公式
1）長方形的周長=(長+寬)×2C=(a+b)×2
2）?正方形的周長=邊長×4C=4a
3）?長方形的面積=長×寬?S=ab
4）?正方形的面積=邊長×邊長?S=a.a=a
5）?三角形的面積=底×高÷2S=ah÷2
6）?平行四邊形的面積=底×高?S=ah
7）?梯形的面積=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2
8）?直徑=半徑×2d=2r?半徑=直徑÷2r=d÷2
9）?圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2c=πd=2πr
10） 圓的面積=圓周率×半徑×半徑
二、立體圖形相關公式
依次為：名稱、圖形特征、表面積、體積
長方體
8 個頂點，6 個面，相對的面相等，12 條棱，相對的棱相等；
S=2(ab+ah+bh) V=abh=Sh
正方體
8 個頂點；6 個面，所有面相等，12 條棱，所有棱相等；
S=6a2 V=a3
圓柱體
上下兩底是平行且相等的圓，側面展開后是長方形；
S=S 側+2S 底
S 側=Ch V=Sh
圓錐體
下底是圓，只有一個頂點，l：母線，頂點到底圓周上任意一點的距離；?S=S 側+S 底
S 側=rl V=Sh
球體
圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。
S=4r2 V=r3
三、三角形、圓1、兩圓外離?d﹥R+r
兩圓外切 d=R+r
兩圓相交?R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
兩圓內切?d=R-r(R﹥r)
兩圓內含?d﹤R-r(R﹥r)
2、相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
3、把圓分成 n(n≥3)：
依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正?n 邊形經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正?n 邊形
4、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓
5、正n邊形的每個內角都等于(n-2)×180°/n
正?n 邊形的半徑和邊心距把正 n 邊形分成 2n 個全等的直角三角形
正 n 邊形的面積
Sn=pnrn/2
p 表示正 n 邊形的周長
正三角形面積√3a/4 ，a 表示邊長
如果在一個頂點周圍有?k 個正 n 邊形的角，由于這些角的和應為 360°，因此 k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4
6、弧長計算公式：L=n∏R/180
扇形面積公式：S 扇形=n∏R/360=LR/2
內公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)
7、勾股定理
性質
a.直角三角形兩直角邊為 a 和 b，斜邊為 c，那 a2+b2=c2 b.勾股數互質
概念
在任何一個的直角三角形(Rt△)中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方(也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等)。
勾股數通式和常見勾股素數
若?m 和 n 是互質，而且 m 和 n 至少有一個是偶數，計算出來的 a, b, c 就是素勾股數。(若 m 和 n 都是奇數， a, b, c 就會全是偶數，不符合互質。)
所有素勾股數(不是所有勾股數)都可用上述列式當中找出，這亦可推論到數學上存在無窮多的素勾股數。
常見的勾股數及幾種通式：
(1) (3， 4， 5), (6， 8，10) … …
3n,4n,5n (n 是正整數)
(2) (5，12，13) ,( 7，24，25), ( 9，40，41) … …
2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n 是正整數) (3) (8，15，17), (12，35，37) … …
2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1 (n 是正整數) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n 均是正整數，m>n)
四、角角的大小與邊的長短
沒有關系；角的大小決定于角的兩條邊張開的程度，張開的越大，角就越大，相反，張開的越小，角則越小。
在動態定義中，取決于旋轉的方向與角度。角可以分為銳角、直角、鈍角、平角、周角、負角、正角、優角、劣角、0?角這?10?種。
以度、分、秒為單位的角的度量制稱為角度制。
此外，還有密位制、弧度制等。
銳角：大于?0°，小于?90°的角叫做銳角。
直角：等于?90°的角叫做直角。
鈍角：大于?90°而小于 180°的角叫做鈍角。
平角：等于 180°的角叫做平角。
優角：大于?180°小于 360°叫優角。
劣角：大于?0°小于 180°叫做劣角，銳角、直角、鈍角都是劣角。
周角：等于 360°的角叫做周角。
負角：按照順時針方向旋轉而成的角叫做負角。
正角：逆時針旋轉的角為正角。
0 角：等于零度的角。
余角和補角：兩角之和為?90°則兩角互為余角，兩角之和為 180°則兩角互為補角。
等角的余角相等，等角的補角相等。
對頂角：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做互為對頂角。
兩條直線相交，構成兩對對頂角。互為對頂角的兩個角相等。
還有許多種角的關系，如內錯角，同位角，同旁內角(三線八角中，主要用來判斷平行)!
五、三角函數常用公式
tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=cosθ/sinθ
secθ=1/cosθ，cscθ=1/sinθ
分別用?cos?2θ與?sin?2θ來除?cos?2θ+sin?2θ=1，
可得： sec?2θ–tan?2θ=1?及?csc 2θ–cot?2θ=1
對于負角度，六個三角函數分別為：
sin(–θ)= –sinθ
csc(–θ)= –cscθ
cos(–θ)=?cosθ
sec(–θ)= secθ
tan(–θ)= –tanθ
cot(–θ)= –cotθ
當兩角度相加時，運用和角公式：
sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ
tan(α+β)=?tanα+tanβ/1–tanαtanβ
若遇到兩倍角或三倍角，運用倍角公式：
sin2α=2sinαcosα
sin3α=3sinαcos2α–sin3α
cos2α=cos?2α–sin 2α
cos3α=cos 3α–3sin?2αcosα
tan 2α=2tanα/1–tan2α
tan3α=3tanα–tan 3α/1–3tan 2α
六、對稱軸
①線段有兩條對稱軸，是這條線段的垂直平分線和線段所在的直線。
②角有一條對稱軸，是角平分線所在的直線。
③等腰三角形有一條對稱軸，是頂角平分線所在的直線。
④等邊三角形有三條對稱軸，分別是三個頂角平分線所在的直線。
⑤矩形有兩條對稱軸，是相鄰兩邊的垂直平分線。
⑥正方形有四條對稱軸，是相鄰兩邊的垂直平分線和對角線所在的直線。
⑦菱形有兩條對稱軸，是對角線所在的直線。
⑧等腰梯形有一條對稱軸，是兩底垂直平分線。
⑨正多邊形有與邊數相同條的對稱軸。
⑩圓有無數條對稱軸，是任何一條直徑所在的直線
3計算
一、常用計算公式
1、基數×點數=總數
總數÷點數=份數
總數÷份數=每份數
2、倍數×倍數=幾倍數
幾倍數÷1 倍數=倍數
幾倍數÷倍數=1 倍數
3、速度×時間=路程
路程÷速度=時間
路程÷時間=速度
4、單價×數量=總價
總價÷單價=數量
總價÷數量=單價
5、工作效率×工作時間=工作總量
工作總量÷工作效率=工作時間
工作總量÷工作時間=工作效率
6、加數+加數=和
和-一個加數=另一個加數
7、被減數-減數=差
被減數-差=減數
差+減數=被減數
8、因數×因數=積
積÷一個因數=另一個因數
9、被除數÷除數=商
被除數÷商=除數
商×除數=被除數
二、豎式字謎
1、數字謎
一般是指那些含有未知數字或未知運算符號的算式。這種不完整的算式，就像謎一樣，要解開這樣的謎，就得根據有關的運算法則、數的性質（和差積商的位數，數的整除性、奇偶性、位數規律等）來進行正確的推理、判斷。
2、解數字謎
一般是從某個數的首位或末位數字上尋找突破口。推理時應注意：
1.?數字謎中的文字、字母或其它符號，只取?0-9?中的某個數字；
2.?要認真分析算式中所包含的數量關系，找出盡可能多的隱蔽條件；
3.?必要時應采用枚舉和篩選相結合的方法（試驗法），逐步淘汰掉那些不符合題意的數字；
數字謎解出之后，最好驗算一遍。
三、基本運算
1.代數式與有理式
用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。
整式和分式統稱為有理式。
2.整式和分式
含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。
沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.單項式與多項式
沒有加減運算的整式叫做單項式。(數字與字母的積—包括單獨的一個數或字母)
幾個單項式的和，叫做多項式。
說明：
①根據除式中有否字母，將整式和分式區別開；根據整式中有否加減運算，把單項式、多項式區分開。
②進行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為對象。劃分代數式類別時，是從外形來看。
4.系數與指數
區別與聯系：①從位置上看；②從表示的意義上看?5.同類項及其合并
條件：①字母相同；②相同字母的指數相同合并依據：乘法分配律
6.根式
表示方根的代數式叫做根式。
含有關于字母開方運算的代數式叫做無理式。
7.算術平方根
正數 a 的正的平方根( [a≥0—與“平方根”的區別])
8.同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化
化為最簡二次根式以后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。
滿足條件：
①被開方數的因數是整數，因式是整式；
②被開方數中不含有開得盡方的因數或因式。把分母中的根號劃去叫做分母有理化。
4排列組合初步
5?其它應用題
一、行程問題
路程=速度×時間；
路程÷時間=速度；
路程÷速度=時間
關鍵問題確定行程過程中的位置路程
相遇路程÷速度和=相遇時間
相遇路程÷相遇時間= 速度
和相遇問題(直線)
甲的路程+乙的路程=總路程相遇問題(環形)
甲的路程?+乙的路程=環形周長追及問題
追及時間=路程差÷速度差 速度差=路程差÷追及時間
追及時間×速度差=路程差追及問題(直線)
距離差=追者路程-被追者路程=速度差?X?追及時間追及問題(環形)
快的路程-慢的路程=曲線的周長流水問題
順水行程=(船速+水速)×順水時間
逆水行程=(船速-水速)×逆水時間
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順水速度+逆水速度)÷2
水速：(順水速度-逆水速度)÷2
二、植樹問題基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，
兩端都不植樹?在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹
(1)不封閉線路的植樹問題：
間隔數+1=棵數；(兩端植樹) 路長÷間隔長+1=棵數。
或間隔數-1=棵數；(兩端不植) 路長÷間隔長-1=棵數；
路長÷間隔數=每個間隔長；?每個間隔長×間隔數=路長。
(2)封閉線路的植樹問題： 路長÷間隔數=棵數；
路長÷間隔數=路長÷棵數=每個間隔長；
每個間隔長×間隔數=每個間隔長×棵數=路長。
(3)平面植樹問題：
占地總面積÷每棵占地面積=棵數
