一、數論

一、質數和合數（1）一個數除了?1?和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）。

一個數除了?1 和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。

（2）自然數除?0?和?1?外，按約數的個數分為質數和合數兩類。

任何一個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。

要特別記住：0 和 1 不是質數，也不是合數。

（3）?最小的質數是?2?，2?是唯一的偶質數，其他質數都為奇數；最小的合數是?4。

（4）?質數是一個數，是含有兩個約數的自然數。

互質數是指兩個數，是公約數只有一的兩個數，組成互質數的兩個數可能是兩個質數（３和５），

可能是一個質數和一個合數（３和４），可能是兩個合數（４和９）或?1 與另一個自然數。

（５）如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數。

把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。

（６）１００以內的質數有２５個：

２、３、５、７、１１、１３、

１７、１９、２３、?２９、３１、

３７、４１、４３、４７、５３、

５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．

二、整除性

（１）概念

一般地，如?a、b、c?為整數，b≠0，且?a÷b=c，即整數?a?除以整除?b（b?不等于?0），?除得的商?c?正好是整數而沒有余數（或者說余數是?0），我們就說，a?能被?b?整除（或者說b?能整除?a），記作?b｜a。否則，稱為?a?不能被?b?整除（或?b?不能整除?a）。

如果整數?a 能被整數 b 整除，a 就叫做 b 的倍數，b 就叫做 a 的約數。

（２）性質

性質?1：（整除的加減性）如果 a、b 都能被 c 整除，那么它們的和與差也能被 c 整除。即：如果 c｜a，c｜b，那么 c｜（a±b）。

例如：如果?2｜10，2｜6，那么 2｜（10＋6），并且 2｜（10—6）。也就是說，被除數加上或減去一些除數的倍數不影響除數對它的整除性。

性質?2：如果?b?與?c?的積能整除?a，那么?b?與?c?都能整除?a.

即：如果?bc｜a，那么?b｜a，c｜a。

性質?3：（整除的互質可積性）如果 b、c 都能整除 a，且b 和 c 互質，那么 b 與 c 的積能整除 a。

即：如果?b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么 bc｜a。

例如：如果 2｜28，7｜28，且（2，7）=1，那么（2×7）｜28。

性質?4：（整除的傳遞性）如果?c?能整除?b，b?能整除?a，那么?c?能整除?a。

即：如果?c｜b，b｜a，那么?c｜a。

例如：如果?3｜9，9｜27，那么 3｜27。

（３）數的整除特征

①能被 2 整除的數的特征：個位數字是 0、2、4、6、8 的整數.

②能被 5 整除的數的特征：個位是 0 或 5。

③能被 3（或 9）整除的數的特征：各個數位數字之和能被 3（或 9）整除。

判斷能被 3（或 9）整除的數還可以用“棄３（或９）法”：

例如：８３５１７４６能被９整除么？

解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在數字中只剩７，７不是９的倍數，所以８３?５１７４６不能被９整除。

④能被 4（或 25）整除的數的特征：末兩位數能被 4（或 25）整除。

⑤能被 8（或 125）整除的數的特征：末三位數能被 8（或 125）整除。

⑥能被 11 整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大減小）是?11 的倍數。

⑦能被 7（11 或 13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被 7（11 或 13）整除，依此反復檢驗。

例如：判斷?3546725 能否被 13 整除？

解：把?3546725 分為 3546?和?725?兩個數.因為?3546-725=2821.再把 2821 分為 2?和?821?兩個數，因為?821—2＝819，又?13｜819，所以?13｜2821，進而?13｜3546725.

上述辦法也可以用來判斷余數和末位數；

對于其他的數，可以將其分解成上述幾個互質的數的乘積，再逐個考慮。

三、約數與倍數

（１）公約數和最大公約數

幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

例如：４是12和16的最大公約數，

可記做：（12，16）＝４

（２）公倍數和最小公倍數

幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

例如：36?是?12?和?18?的最小公倍數，記作[12，18]=36。

（３）最大公約數和最小公倍數的關系

如果用?a 和 b 表示兩個自然數

１、那么這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數關系是：

（a，b）×[a，b]=a×b。（多用于求最小公倍數）

２、（a，b）?≤?a?，b?≤?[a，b]

３、[a，b]是（a，b）的倍數，（a，b）是[a，b]的約數

４、（a，b）是?a＋b?和?a－b?的約數，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－[a，b]的約數

（４）求最大公約數

方法很多，主要推薦：短除法、分解質因數法、輾轉相除法。

例如：１、（短除法）用一個數去除?30、60、75，都能整除，這個數最大是多少？

解?：∵ （30，60，75）=5×3=15 這個數最大是 15。

２、（分解質因數法）求１００１和３０８的最大公約數是多少？

解：１００１＝７×１１×１３（這個質分解常用到）?，

３０８＝７×１１×４?所以最大公約數是７×１１＝７７

在這種方法中，先將數進行質分解，而后取它們“所有共有的質因數之積”便是最大公約數。

３、（輾轉相除法）用輾轉相除法求?4811?和?1981?的最大公約數。

解：

∵4811=2×1981+849

1981=2×849+283，

849=3×283，

∴（4811，1981）=283。

補充說明：如果要求三個或更多的數的最大公約數，可以先求其中任意兩個數的最大公????約數，再求這個公約數與另外一個數的最大公約數，這樣求下去，直至求得最后結果。

（５）約數個數公式

一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）加?1 的連乘的積。

例如：求?240 的約數的個數。

解：∵240＝24×31×51，

∴240 的約數的個數是

（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

∴240 有 20 個約數。

四、奇偶性

（1）?奇數和偶數

整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被 2 整除的數叫做偶數，不能被 2 整除的數叫做奇數。

偶數通常可以用?2k（k 為整數）表示，奇數則可以用 2k+1（k 為整數）表示。特別注意，因為 0 能被 2 整除，所以 0 是偶數。

最小的奇數是１?，最小的偶數是０．

（2）奇數與偶數的運算性質

性質?1：偶數±偶數=偶數， 奇數±奇數=偶數。

性質?2：偶數±奇數=奇數。

性質?3：偶數個奇數相加得偶數。

性質?4：奇數個奇數相加得奇數。

性質?5：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數偶數×偶數=偶數

（3）反證法

例：桌上有?9 只杯子，全部口朝上，每次將其中 6 只同時“翻轉”.

請說明：無論經過多少次這樣的“翻轉”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。

解：要使一只杯子口朝下，必須經過奇數次“翻轉”.要使 9 只杯子口全朝下，必須經過 9個奇數之和次“翻轉”.即“翻轉”的總次數為奇數.

但是，按規定每次翻轉?6?只杯子，無論經過多少次“翻轉”，翻轉的總次數只能是偶數次.因此無論經過多少次“翻轉”，都不能使?9?只杯子全部口朝下。

這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方法.

先假設某種說法正確，再利用假設說法和其他性質進行分析推理，最后得到一個不可能成立的結論，從而說明假設的說法不成立.

這種思考證明的方法在數學上叫“反證法”。

五、有理數

(1)求相同因數的積的運算叫做乘方.乘方運算的結果叫冪.

一般地，讀作：a?的?n?次方，表示?n?個?a?相乘;其中，a?是底數，n?是指數，稱為冪。

(2)正數的任何次冪都是正數.

負數的奇數次冪是負數， 負數的偶數次冪是正數.

(3)一個數的平方為它本身，這個數是 0 和 1; 一個數的立方為它本身，這個數是 0、1 和-1。

六、一元二次方程

1.?一元二次方程：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2.?一元二次方程有四個特點：

(1)含有一個未知數;

(2)?且未知數次數最高次數是?2;

(3) 是整式方程。要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理

如果能整理為?ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程。

(4)將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0?時，應滿足(a≠0)

3.?一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關于?x?的一元二次方程，經過整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中 ax2 是二次項，a 是二次項系數;bx 是一次項，b 是一次項系數;c 是常數項。

七、一次函數

定義：一般地，形如?y=kx+b(k、b?是常數??，k≠0)的函數，叫一次函數。

(存在條件:?①兩個變量?x、y，②k、b?是常數且?k≠0，③自變量 x 的次數是 1，④自變量 x 的是整式形式)

一次函數與正比例函數關系:?正比例函數包含于一次函數，即正比例函數是一次函數;正比例函數是一次函數當 b=0 時的特殊情況。

一次函數性質：以下各條性質反之也成立。

①圖像形：是一條直線。稱為直線?y=kx+b

②象限性:

當?k>0、b>0 時，直線經過第一、二、三象限，不過四象限。

當 k>0、b<0 時，直線經過第一、三、四象限。

不過二象限當 k<0 、b>0 時，直線經過第一、二，四象限。不過三象限

當?k<0 、b<0 時，直線經過第二，三、四象限。不過一象限

③增減性：當 k>0 時，直線從左向右上升，隨著 x 的增大(減小) y 也增大(減小) 當 k<0 時，直線從左向右下降。隨著 x 的增大(減小) y 反而而減小(增大)

④連續性：由于自變量取值是全體實數，所以圖像具有連續性。(沒有最大或最小值)

⑤截距性;當?b>0 時，直線與 y 軸交于 y 軸正半軸(交點位于軸上方) 當 b<0 時，直線與 y 軸交于 y 軸負半軸(交點位于軸下方)

⑥傾斜性:︱k︱越大，直線越靠向 y 軸，與 x 軸正方向的夾角度數越大，越陡。

⑦平移性; 直線 y=kx+b

當?b>0 時，是由直線 y=kx 向上平移得到的。當 b<0 時，是由直線 y=kx 向下平移得到的。

待定系數法：先設出函數解析式，在根據條件確定解析式中的未知的系數，從而寫出這個式子的方法，叫待定系數法。

用待定系數法確定解析式的步驟：

①設函數表達式為：y=kx 或 y=kx+b

②將已知點的坐標代入函數表達式，得到方程(組)

③解方程或組，求出待定的系數的值。

④把的值代回所設表達式，從而寫出需要的解析式。

注意：正比例函數 y=kx 只要有一個條件就可以。而一次函數 y=kx+b 需要有兩個條件。

一次函數與一元一次方程的關系

一元一次方程ax+b=0(a，b 為常數，且 a≠0)可看作一次函數 y=ax+b 的函數值是 0 的一種特例，其解是直線?y=ax+b?與?x?軸交點的橫坐標，所以解一元一次方程?ax+b=0?可以轉化為當一次函數?y=ax+b?的值為0?時，求相應自變量?x?的值，因此可以利用圖像來解一元一次方程。

求直線y=kx+b 與x 軸交點時，可令 y=0，得到一元一次方程kx+b=0，解方程得 x=- ，則- 就是直線 y=kx+b 與 x 軸交點的橫坐標。

反過來解一元一次方程也可以看作是求直線y=kx+b 與 x 軸交點的橫坐標的值。

八、至多至少問題

至少：就是取滿足條件中所有數的最小值.這句話有兩個意思，第一，在指定集合范圍內，必須都滿足要求，第二，指定集合存在最小值.

例如，已經-x2≤a 在所有實數都成立，那么 a 的最小值是多少. 第一，先求出滿足-x2≤a 所有 a 的值，顯然只要 a≥0，

第二，a=0 是這個集合的最小值，所以 a 的最小值是 0. 兩個條件之中有一個不滿足，就沒有最小值。

至多：就是取滿足條件中所有數的最大值.這句話也有兩個意思，第一，在指定集合范圍內，必須都滿足要求，第二，指定集合存在最大值。

一、平行線問題

1.?有關平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內容，因此在主體幾何的總復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內容和功能，

通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規律--充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力。

2.?判定兩個平面平行的方法：

(1)?根據定義--證明兩平面沒有公共點;

(2)?判定定理--證明一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面;

(3)證明兩平面同垂直于一條直線。

3.?兩個平面平行的主要性質：

(1)?由定義知：“兩平行平面沒有公共點”;

(2)?由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面”;

(3)?兩個平面平行的性質定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行”;

(4)?一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面;

(5)夾在兩個平行平面間的平行線段相等;

(6)經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。

以上性質(2)、(4)、(5)、(6)在課文中雖未直接列為“性質定理”，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。

二、幾何面積

1、基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算;另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。

2、常用方法：

a.?連輔助線方法

b.?利用等底等高的兩個三角形面積相等。

c.?大膽假設(有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上)。

d.?利用特殊規律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面積)

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的 78.5%。

3、基礎公式

1）長方形的周長=(長+寬)×2C=(a+b)×2

2）?正方形的周長=邊長×4C=4a

3）?長方形的面積=長×寬?S=ab

4）?正方形的面積=邊長×邊長?S=a*a=a2

5）?三角形的面積=底×高÷2S=ah÷2

6）?平行四邊形的面積=底×高?S=ah

7）?梯形的面積=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2

8）?直徑=半徑×2d=2r?半徑=直徑÷2r=d÷2

9）?圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2c=πd=2πr

10） 圓的面積=圓周率×半徑×半徑

三、立體圖形相關公式

依次為：名稱、圖形特征、表面積、體積

長方體

8 個頂點，6 個面，相對的面相等，12 條棱，相對的棱相等;

S=2(ab+ah+bh) V=abh=Sh

正方體

8 個頂點;6 個面，所有面相等，12 條棱，所有棱相等;

S=6a2 V=a3

圓柱體

上下兩底是平行且相等的圓，側面展開后是長方形;

S=S 側+2S 底

S 側=Ch V=Sh

圓錐體

下底是圓，只有一個頂點，l：母線，頂點到底圓周上任意一點的距離;?S=S 側+S 底

S 側=rl V=Sh

球體

圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。

S=4r2 V=r3

一、常用計算公式

1、基數×點數=總數

總數÷點數=份數

總數÷份數=每份數

2、倍數×倍數=幾倍數

幾倍數÷1 倍數=倍數

幾倍數÷倍數=1 倍數

3、速度×時間=路程

路程÷速度=時間

路程÷時間=速度

4、單價×數量=總價

總價÷單價=數量

總價÷數量=單價

5、工作效率×工作時間=工作總量

工作總量÷工作效率=工作時間

工作總量÷工作時間=工作效率

6、加數+加數=和

和-一個加數=另一個加數

7、被減數-減數=差

被減數-差=減數

差+減數=被減數

8、因數×因數=積

積÷一個因數=另一個因數

9、被除數÷除數=商

被除數÷商=除數

商×除數=被除數

二、大小比較

1.比較整數大小：比較整數的大小，位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最高位，最高位上的數大，那個數就大;最高位上的數相同，就看下一位，哪一位上的數大那個數就大。

2.比較小數的大小：先看它們的整數部分，，整數部分大的那個數就大;整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大;十分位上的數也相同的，百分位上的數大的那個數就大……

3.比較分數的大小：分母相同的分數，分子大的分數比較大;分子相同的數，分母小的分數大。分數的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數的大小。

三、豎式字謎

1、數字謎

一般是指那些含有未知數字或未知運算符號的算式。這種不完整的算式，就像謎一樣，要解開這樣的謎，就得根據有關的運算法則、數的性質（和差積商的位數，數的整除性、奇偶性、位數規律等）來進行正確的推理、判斷。

2、解數字謎

一般是從某個數的首位或末位數字上尋找突破口。推理時應注意：

1.?數字謎中的文字、字母或其它符號，只取?0-9?中的某個數字；

2.?要認真分析算式中所包含的數量關系，找出盡可能多的隱蔽條件；

3. 必要時應采用枚舉和篩選相結合的方法（試驗法），逐步淘汰掉那些不符合題意的數字；數字謎解出之后，最好驗算一遍。

4. 排列組合初步一、解排列組合問題首先要弄清一件事是"分類"還是"分步"完成，對于元素之間的關系，還要考慮"是有序"的還是"無序的"，也就是會正確使用分類計數原理和分步計數原理，排列定義和組合定義，其次，對一些復雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法:

1、特殊優先法

對于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優先法.

例如:用 0，1，2，3，4 這5?個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有___個.(答案:30?個)

2、科學分類法

對于較復雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況，進行科學分類，以便有條不紊地進行解答，避免重復或遺漏現象發生例如:從 6 臺原裝計算機和 5 臺組裝計算機中任取5?臺，其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺，則不同的選取法有___種.(答案:350)

3、插空法

解決一些不相鄰問題時，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決例如:7?人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數是___.(答案:3600)

捆綁法相鄰元素的排列，可以采用"整體到局部"的排法，即將相鄰的元素當成"一個"元素進行排列，然后再局部排列例如:6?名同學坐成一排，其中甲，乙必須坐在一起的不同坐法是___種.(答案:240)

4、排除法

從總體中排除不符合條件的方法數，這是一種間接解題的方法.

二、其他解題方法

1、分類加法計數原理

完成一件事，有?n 類辦法，在第 1 類辦法中有 m1 種不同的方法，在第 2 類辦法中有 m2 種不同的方法‥‥‥則總共有m1+m2+…+mn 種方法。

2、枚舉法

在進行歸納推理時，如果逐個考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般結論，那么這結論是可靠的，這種歸納方法叫做枚舉法。

采用枚舉算法解題的基本思路：

（1）確定枚舉對象、枚舉范圍和判定條件；

（2）枚舉可能的解，驗證是否是問題的解。

三、解題原理

1、加法原理：分類枚舉

2、乘法原理：排列組合

3、容斥原理：

①?總數量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC

②?常用：總數量=A+B-AB

5. 其它應用題一、時鐘問題時鐘的表盤有 60 小格，12 大格，1 小格為 6 度，1 大格為 30 度， 走 1 小時，時針為 30 度，分針為 360 度，秒針為 360*60 度;

走?1 分鐘，時針為 0.5 度，分針為 6 度，秒針為 360 度;

走?1 秒鐘，時針為 1/120 度，分針為 1/10 度，秒針為 6 度.

以格/分為單位，分針的速度是 1 格/分，時針速度是 5 格/小時=1/12 格/分以度/分為單位，分針的速度是 360°/60=6°/分，時針速度是 6*1/12=0.5°/分

兩針重合所需分鐘數=原兩針相隔格數/（1-1/12）

或=原兩針相隔度數/（6°-0.5°）

兩針成直線（不含重合）所需分鐘數=（原兩針相隔格數±30）/（1-1/12）或=（原兩針相隔度數±180°）/（6°-0.5°）

兩針成直角所需分鐘數=（原兩針相隔格數±15）/（1-1/12）或=(原兩針相隔度數±90°）/（6°-0.5°）

二、單位換算

1、長度單位

1 千米=1000 米，1 米=10 分米，1 米=10 分米=100 厘米=1000 毫米

1 分米=10 厘米，1 米=100 厘米，1 分米=10 厘米=100 毫米

1 厘米=10 毫米，1 千米=1000 米

2、面積單位

1 平方千米=100 公頃，1 平方米=100 平方分米，1 公頃=10000 平方米，

1 平方分米=100 平方厘米，1 平方米=100 平方分米，1 立方米=1000 立方分米，

1?平方分米=100 平方厘米，

1 立方分米=1000 立方厘米，

1 平方厘米=100 平方毫米

3、體積單位

1 立方米=1000 立方分米，

1 立方厘米=1 毫升，

1 立方分米=1000 立方厘米

1 立方米=1000 升，

1 立方分米=1 升

4、重量單位

1 噸=1000 千克，

1 斤=500 克，

1 千克=1000 克，

1 克=1000 毫克，

1 升=1000 毫升，

1 千克=1 公斤

5、時間單位

1?小時=60?分，1?分=60?秒，

1?日=24?小時，1?時=3600?秒，

1?年=12?月

大月(31?天)有:135781012?月，

小月(30?天)的有:46911?月

三、追擊相遇問題基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系。

基本公式：路程=速度×時間;路程÷時間=速度;路程÷速度=時間

關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)

追及問題：追及時間=路程差÷速度差(寫出其他公式)

流水問題：順水行程=(船速+水速)×順水時間?逆水行程=(船速-水速)×逆水時間

順水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速

靜水速度=(順水速度+逆水速度)÷2

水速=(順水速度-逆水速度)÷2

流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量，求第三個量。