ICM實用模型及例題（E題）

2018/1/17周三國內(nèi)常說的美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模學(xué)術(shù)活動，其實是由兩種類型的學(xué)術(shù)活動組成，MCM即Mathematical Contest in Modeling，

直譯為數(shù)學(xué)建模學(xué)術(shù)活動，和ICM即The Interdisciplinary Contest in Modeling，直譯為交叉學(xué)科建模學(xué)術(shù)活動，兩者名稱不同，題目的風(fēng)格有較大的差異。

ICM學(xué)術(shù)活動題目更開放，問題更“大”，更宏觀，篇幅較長，往往是全球范圍內(nèi)共同關(guān)心的問題，因此一般不依賴特定的文化背景或生活習(xí)慣，近幾年ICM學(xué)術(shù)活動要求論文正文部分不超過20頁。

E題：environmental science

問題簡介E題是環(huán)境科學(xué)問題，大體上會集中在環(huán)境污染、資源短缺、可持續(xù)發(fā)展、生態(tài)保護(hù)等幾個方面。

環(huán)境與可持續(xù)發(fā)展是當(dāng)今世界關(guān)注的重要議題，可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵是協(xié)調(diào)好經(jīng)濟(jì)發(fā)展和環(huán)境保護(hù)之間的關(guān)系，這種協(xié)調(diào)有賴于應(yīng)用系統(tǒng)論的觀點研究環(huán)境系統(tǒng)內(nèi)部各個組成部分和要素之間的對立統(tǒng)一關(guān)系；

也有賴于研究環(huán)境質(zhì)量和社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的對立統(tǒng)一關(guān)系，建立最佳的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和環(huán)境—經(jīng)濟(jì)布局，環(huán)境科學(xué)的發(fā)展給日益顯現(xiàn)和加劇的環(huán)境問題的解決提供了重要方法和技術(shù)。

科學(xué)計算和數(shù)學(xué)模型的研究在環(huán)境科學(xué)研究和工作實踐中占有重要地位，它是環(huán)境科學(xué)與其所依托的傳統(tǒng)學(xué)科之間進(jìn)一步交叉互動發(fā)展的需要，是量化認(rèn)識、準(zhǔn)確調(diào)控復(fù)雜環(huán)境系統(tǒng)的需要，也是環(huán)境科學(xué)研究的重要工具、環(huán)境規(guī)劃、環(huán)境評價的核心技術(shù)之一。

今天我們主要介紹Entropy熵值法、AHP層次分析法和PCA主成分分析法三種方法。

Entropy 熵值法熵，英文為entropy，是德國物理學(xué)家克勞修斯在1850年創(chuàng)造的一個術(shù)語，它用來表示一種能量在空間中分布的均勻程度。

熵是熱力學(xué)的一個物理概念，是體系混亂度(或無序度)的量度，用S表示。應(yīng)用在系統(tǒng)論中，熵越大說明系統(tǒng)越混亂，攜帶的信息越少，熵越小說明系統(tǒng)越有序，攜帶的信息越多。

根據(jù)熵的特性，我們可以用熵值來判斷某個指標(biāo)的離散程度：指標(biāo)熵值越小，離散程度越大，該指標(biāo)對綜合評價的影響（即權(quán)重）也就越大。

主要流程

Step1,確立指標(biāo)體系

我們用手游認(rèn)知客戶挖掘模型實例來解說熵值法計算指標(biāo)權(quán)重的全過程。下圖是手游認(rèn)知客戶挖掘模型的二級指標(biāo)評價體系，其中各個維度指標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)均是通過熵值法計算出來的。

下面具體看下模型中 “手游認(rèn)知能力”部分指標(biāo)權(quán)重的計算過程。
Step2,清洗指標(biāo)極值方法：

即剔除各指標(biāo)中極大或者極小的值，一般用比較合理的上下限值替換這些極值。目的是減少極值數(shù)據(jù)對該指標(biāo)的熵的影響；

原則：剔除占樣本總數(shù)不到1-2%但指標(biāo)值貢獻(xiàn)率超過20-30%以上的極值樣本 Step3,歸一化指標(biāo)處理方法：

指標(biāo)歸一化過程也稱之為指標(biāo)的無量綱化，即將指標(biāo)實際值轉(zhuǎn)化為不受量綱影響的指標(biāo)平價值。方法比較多，具體見附錄《無綱量化方法一覽》；

原則：比較常用的是臨界值法和Z-score法(更合理，保持了數(shù)據(jù)的連續(xù)性，減少數(shù)據(jù)信息丟失)，最終將所有指標(biāo)轉(zhuǎn)化為正區(qū)間里面，二者具體處理如下： Step4,計算指標(biāo)“熵”和“權(quán)”
Step5,指標(biāo)加權(quán)計算得分方法：

計算綜合得分就是指標(biāo)合成的過程，一般可以采用加法原理和乘法原理；

原則：最常用的是加法合成法，其具體處理如下：

利用以上3個指標(biāo)的權(quán)重和歸一化指標(biāo)值，計算上級指標(biāo)的分?jǐn)?shù)：手游認(rèn)知能力得分= 0.336*手游歷史付費(fèi)金額+0.212*手游訪問次數(shù) +0.452*手游訪問天數(shù)。

當(dāng)然，模型其他部分的底層指標(biāo)權(quán)重和一級指標(biāo)權(quán)重均可以按以上步驟計算得到，并一層層由下往上進(jìn)行加權(quán)，最終得到模型的綜合得分。

“AHP層次分析法層次分析法（AHP）是美國運(yùn)籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀(jì)70年代初，為美國國防部研究“根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評價方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。

這種方法的特點是在對復(fù)雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供簡便的決策方法。層次

劃分

最高層：決策的目的、要解決的問題

最低層：決策時的備選方案

中間層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則

對于相鄰的兩層，稱高層為目標(biāo)層，低層為因素層

主要流程

建立層次結(jié)構(gòu)模型

例如，假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去涼爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林？通常會依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。 如何在3個目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇. 構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣在建立遞階層次結(jié)構(gòu)以后，上下層次之間元素的隸屬關(guān)系就被確定了。假定上一層次的元素Ck作為準(zhǔn)則，對下一層次的元素 A1, …, An 有支配關(guān)系，我們的目的是在準(zhǔn)則 Ck 之下按它們相對重要性賦予 A1, …, An 相應(yīng)的權(quán)重。比較同一層次中每個因素關(guān)于上一層次的同一個因素的相對重要性。

層次單排序及其一致性檢驗

一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識的多樣性所決定的。

但在構(gòu)造兩兩判斷矩陣時，要求判斷大體上的一致是應(yīng)該的。出現(xiàn)甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，而丙又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識的。

一個混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤，而且當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時，用上述各種方法計算的排序權(quán)重作為決策依據(jù)，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗。

定義一致性指標(biāo)：有完全的一致性；CI接近于0，有滿意的一致性；CI 越大，不一致越嚴(yán)重。
定義一致性比率 ：當(dāng)CR<0.1時認(rèn)為成對比矩陣的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過一致性檢驗。層次總排序及其一致性檢驗

層次總排序的一致性比率：當(dāng)CR<0.1時，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗。

層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。“PCA主成分分析法主成分分析是把各變量之間互相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行簡化的分析方法。

在社會經(jīng)濟(jì)的研究中，為了全面系統(tǒng)的分析和研究問題，必須考慮許多經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，這些指標(biāo)能從不同的側(cè)面反映我們所研究的對象的特征，但在某種程度上存在信息的重疊，具有一定的相關(guān)性。

主成分分析試圖在力保數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對這種多變量的截面數(shù)據(jù)表進(jìn)行最佳綜合簡化，也就是說，對高維變量空間進(jìn)行降維處理。

主要流程

對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

計算相關(guān)系數(shù)矩陣

計算特征值與特征向量

計算主成分載荷

各主成分的得分

幾何解釋

假設(shè)我們所討論的實際問題中，有p個指標(biāo)，我們把這p個指標(biāo)看作p個變量，記為X1，X2，…，Xp，主成分分析就是要把這p個指標(biāo)的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻損個指標(biāo)的線性組合的問題，而這些新的指標(biāo)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k(k≤p），按照保留主要信息量的原則充分反映原指標(biāo)的信息，并且相互獨(dú)立。