馬克思的微積分筆記1

從前，有一位叫做馬克思 普朗克(Max Planck)的很帥的物理學家。有一天，他正在思考黑體輻射問題。他看了一下旁邊的鐘正一秒一秒的過去。于是他突發(fā)奇想，會不會能量也是像鐘的秒針這樣，是一份一份的走的呢。于是他建立了量子理論，普朗克的鐘(單身可撩)的故事也由此傳開...

AP考試是一個美國大學理事會（Comfirmed Bitch）提供的大學先修課程，對于要出國的小伙伴肯定不陌生啦，還是建議準備出國的小伙伴去考一下。科目很多，大家可以自行選擇，現(xiàn)在正在報名哦。微積分呢作為中國學生的幾乎必考科目，也是備受大家的關注。

其實AP的微積分，相對起中國的高數(shù)課來說還是很簡單的。只要大家稍微認真點，自己拿個5分還是沒問題的。

函數(shù)

函數(shù)說白了就是微積分的研究對象。函數(shù)的知識呢大家也都學過，唯一稍微需要提及的地方就在于參數(shù)方程和極坐標。參數(shù)方程其實就是我們寫不出x和y的直接聯(lián)系，但是我們發(fā)現(xiàn)他們和一個共同的變量的關系很好寫出來，所以就發(fā)明了參數(shù)方程（請大家自行想一下擺線的例子）。關于極坐標就是把笛卡爾坐標系的橫豎兩個變量換成角度和到某個點的距離，這樣呢很多東西都更方便了。比如大家可以想想，在圓的例子中，r和角度有什么關系（這個問出來讓ads一度尷尬了30秒鐘）

好了函數(shù)本身也沒什么好講的了。不管是多復雜的一個函數(shù)還是形式的函數(shù)，其本質都是一樣的，那就是一個東西怎么變，另外一個東西跟著怎么變，只不過我們把他用數(shù)學描述出來了而已。

極限

微積分里面第一個最重要的概念就是極限了。AP課程里面沒有嚴格的定義極限，不過我們還是稍微了解一下。所謂無窮小，就是你隨便說一個多小的東西，它都可以比你說的那個東西還要小。
一般呢AP就給你一個除式，讓你算一下當x趨近于某個極限時y是多少，通用的套路呢就是上下同時除以一個最高次數(shù)項，這樣第次數(shù)的東西變成了x分之一，所以趨近無窮大時這些就都變成0了。大家可以自己想一想當上下的最高次數(shù)不一樣時，他們的規(guī)律是什么。初次之外呢還要注意一下正無窮和負無窮的一個微小的區(qū)別，比如這個perfect example:

這個例子就把負無窮的概念出來了，因為下面平方在開根就變成正了，而上面還是負，所以整個極限就是-3.

除此之外呢就是一個叫做夾逼準則的東西，英文也叫做sandwich theorem，就是下圖。

就是在一個區(qū)域內，一個函數(shù)大于函數(shù)a，小于函數(shù)b，然后a，b在某個點的極限相同，那么這個函數(shù)在這一點也取這個極限。好了這個也是一個很自然的定理，我覺得也不需要什么嚴格的證明了，那么現(xiàn)在我們就來應用一下：

我們求這兒一個極限的大小。這個極限其實并不是那么容易可以直接求得的，但是我們可以利用夾逼準則快速的求出來，只需要通過這滅那個這個東西始終在cos x 和1 之間就行了，而我們恰巧有知道這兩個在0的極限都是1. 當然在證明中我們今天遇到一個問題, 就是我們一味的象征這個不等式成立, 忽略了他們的范圍, 我們這兒只需要考慮0到一個地方就行了, 因為我們關心的是0嘛.? AP里面關于這個極限的考法無非就是把x換成5x之類的，本質是不變的。

還有就是連續(xù)的概念了，由于這個也不是特別重要，大家只需要記住連續(xù)的三個條件就可以了：分別是在此點有定義，有極限，以及這個極限等于此點的函數(shù)值本身。其實第二個條件是包含在第三個里面的，所以國內的教材一般寫的是兩個條件。

好了，今天就只講了這些東西，下次去給ads上課的時候再給大家補充好了。
說起微積分，還是推薦幾個學習微積分的途徑好了（這就不以ap為參考了）。

1. 《Calculus》 作者 James Stewart.
這本書應該是全球最又名的微積分教材了（同時還有托馬斯微積分，不過個人沒看過就不推薦了），將的非常好，最重要的是習題和答案編的非常好。另外stewart先生也是有名的小提琴家。可以說是是男神本神了。

2. ?《微積分學教程》 作者 菲赫金哥爾茨
這是三本典型的俄羅斯教材，眾所周知，俄羅斯的教材非常變態(tài)（比如經(jīng)典力學的數(shù)學方法，嗯, 買回來發(fā)現(xiàn)是本數(shù)學書）。這本書呢應該是微積分里的百科全書了，小鐘也一直保留著這本書在電腦里面，可以說只要是有關微積分的問題，這里都可以找到答案。

3.? MIT微積分公開課 微積分重點
這個直接上網(wǎng)易公開課搜索微積分重點就行了。這個教授講的非常好（畢竟MIT），他還開了一個線代課程也很好，內容也是高中能聽懂的水平。對于不想看書的同學這個真的是絕好的材料了。

4.? PengTitus的YouTube頻道
Peng老師是臺灣的一名醫(yī)生，不過在美國完成了物理專業(yè)的學習，上課的風格呢雖然不是特別激情，但是內容真的安排的特別棒。他的頻道上還有很多東西，比如小鐘的變分法和時空圖就是受教于這位老師。當然這個在油管上對于大家也是一個比較麻煩的事，所以就看自己啦。

好了，關于微積分就是這些。小鐘發(fā)現(xiàn)有一些對物理剛開始感興趣的朋友不那么喜歡數(shù)學。但是其實隨著物理的深入學習，數(shù)學真的是離不開的，而且也會越來越有趣，如果說物理是要研究A和B的話，那數(shù)學就是要研究A to B的這個箭頭，當這些箭頭拼起來的時候，物理的網(wǎng)絡也就自己形成了。

好了今天還是讓費曼先生幫我們結尾吧。

Physics is to math what sex is to masturbation.

-----Richard Feynman