王元院士談如何理解現代數學

國家出版基金項目《數學大辭典》（第二版）于2017年面世，該書總主編王元院士在辭典新版工作啟動之初提筆撰寫了前言，其中既談到了辭典編修的工作思路和出版宗旨，也論及“如何理解‘現代數學’”這一問題。謹此轉錄刊發，以饗讀者。

《數學大辭典》（科學出版社，2010）出版以來，得到了廣大讀者和有關各方的鼓勵和肯定。國家出版基金經過論證，決定支持出版《自然科學大辭典系列》，首批項目包括數學、物理學、化學、生物學與地學五大學科，其中《數學大辭典》（以下簡稱《辭典》）作為第二版出版。

《辭典》第一版的出版，首先要歸功于近三百位撰稿人的辛勤勞動，精心撰稿，及約二百位審稿人的認真審閱，使之完美。還要感謝撰稿人與審稿人所在的工作單位給予他們的寶貴支持，及科學出版社給予的大力支持與良好的編輯出版工作。

《辭典》的第二版，不搞一刀切，不規定各分支學科修改的數量，實事求是。但仍要求內容的正確性與嚴謹性，盡量做到行文的可讀性、通俗性與趣味性。除在原來的內容基礎上做了一些必要的修改、校訂與補充外，特別注意新增了少量現代數學的內容，這應該是《辭典》以后修訂的主要方針與著力點之一。關于這方面，我想借此機會，談談我的個人看法。

如何理解“現代數學”？數學是離不開它的內容的，數學的內容是發展的、動態的。具體地說，20 世紀 50 年代，蘇聯曾組織了幾十位著名數學家（包括科爾莫戈羅夫、蓋爾范德等）撰寫了三卷本的《數學——它的內容、方法和意義》（以下簡稱《數學》）。我國立即組織數十位數學家進行了翻譯，由科學出版社出版，以后重印了許多次。

《數學》總結了 20 世紀 40 年代前的數學，對當時的數學做了很好的總結。全書共 20 章，即：

數學概觀

數學分析

解析幾何

代數 (代數方程的理論)

常微分方程

偏微分方程

曲線和曲面

變分法

復變函數

素數

概率論

函數逼近法

近似方法與計算技術

電子計算機

實變函數

線性代數

抽象空間

拓撲學

泛函分析

群及其他代數系統

其中除第一章外，數學的“內容”占了 19 章，即全書篇幅的 95%。實際上，內容確定了，數學的方法與意義也就清楚了。

應該說，《數學》的出版，對中國數學的發展的影響是巨大的。中國數學的科研單位與大學數學系的研究室的設置，科研方向的制定，以及大學課程開設等都是以《數學》為指導，以它為框架。

按照《數學》列舉的 19 個分支來衡量，當時中國在很多領域只有少數人在工作，甚至還有不少缺門。經過十幾年的努力，有少數領域，中國數學家的工作接近了國際先進水平，特別是諸空白領域得到快速的填補與建立。

自從《數學》在中國出版至今，已過去了五十多年，這期間，國際上，數學經歷了快速與深入的發展，而我國有段時間由于“左”的思潮與做法不斷干擾著數學的發展，從技術層面上講，表現在對所謂“理論聯系實際”的片面解釋，有一些方面的工作受到抑制，加之某種程度上的閉關自守，特別是“文化大革命”的否定一切，曾使我國的數學與國際先進水平的差距逐日拉大，有些領域甚至不了解其內容，產生了新的空白。

我們首先要弄清現代數學的內容是什么。很多人已經閱讀過著名數學家高爾斯（T.
Gowers）主編的《普林斯頓數學指南》（Princeton Companion to Mathematics，Princeton
University
Press，2008）（以下簡稱《指南》）。該書已受到了廣泛的關注，獲得了 2011 年的歐拉圖書獎，它將現代數學的內容分成 26 個分支來加以介紹，即

代數數

解析數論

計算數論

代數幾何

算術幾何

代數拓撲

微分拓撲

模空間

表示論

幾何與組合群論

調和分析

偏微分方程

廣義相對論與愛因斯坦方程

動力系統

算子代數

鏡像對稱

頂點算子代數

枚舉與代數組合學

極值與概率組合學

計算復雜性

數值分析

集合論

邏輯與模型論

隨機過程

臨界現象的概率模型

高維幾何與其概率類似

比較一下《數學》所列舉的 19 個數學領域與《指南》所列舉的 26 個領域，是否可以認為《數學》中的領域的主要內容，包括最基本的概念、方法與結果，已成為現代數學家應有的基本知識？這些領域中的一部分已經完全成熟，另一部分還會繼續發展下去，但已不構成數學的主流方向。

《指南》所列舉的 26 個領域中，有些是由《數學》中某領域的某方面的快速深入發展而形成的，或由某些領域交叉發展而派生的，有些則是由數學外部需要的促進而生成的。它們是國際上現代數學的熱點與主流。

國內的數學工作者，如果能積極投身相關領域，將有望對我國今后數學的大發展大繁榮做出積極的貢獻。

此外，所謂純粹數學與應用數學的嚴格界限是不存在的。一定要找一點差別，則前者主要以數學的內部矛盾為推動力，而后者則以數學外部世界的需求為主要推動力。比較《數學》與《指南》，后者在應用數學方面的比重加大了。這表明隨著科學技術的飛速進步，數學外部需求將愈加成為數學發展的推動力。因此，我們應該重視應用數學。

從技術層面講，我想今后關于科研機構的設置、方向的選擇，以及大學課程的安排，都應逐步加大現代數學的成分，特別要鼓勵年輕數學家到主流數學中去工作。

《辭典》第二版時，我們增加了一些現代數學的內容，也正是基于以上的考慮。