當數(shù)學(xué)遇到物理之無處不在的鏡像對稱

季理真，1964 年 4 月生于溫州。1984 年獲杭州大學(xué)理學(xué)學(xué)士學(xué)位，1985 年赴美在丘成桐教授指導(dǎo)下研習(xí)數(shù)學(xué)。1987 年在加州大學(xué)圣地亞哥分校獲得理學(xué)碩士學(xué)位，1991 年在美國東北大學(xué)獲得理學(xué)博士學(xué)位。先后在美國麻省理工學(xué)院、普林斯頓高等研究所從事研究工作，1995 年至今任教于美國密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)系，從 2002 年開始兼任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究中心高級教授。曾獲得 Sloan 研究獎，以及美國自然科學(xué)基金會數(shù)學(xué)科學(xué)博士后獎。

中國人口眾多，名人也不少，著名的華人數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家更是遍及海內(nèi)外。但要讓當今最偉大的華人數(shù)學(xué)家和最偉大的華人物理學(xué)家聚首清華園，并不容易。但這卻真的發(fā)生了，時間是 2014 年 8 月 4 日的晚上，清華園附近的文津大酒店正在舉辦丘成桐教授 65 歲華誕慶祝暨卡拉比猜想 60 年國際會議的盛大晚宴。這可以看作是丘教授的一次家宴，他個人承擔了晚宴的全部費用。

世界著名物理學(xué)大師楊振寧教授起身做了開場致辭：

“我有一個小故事，丘成桐不一定喜歡聽，他來石溪一年后，斯坦福想將他挖走，石溪要留他，開了個會，除了一個人外，全部都贊成留他。此人說丘成桐有篇文章有錯，有人響應(yīng)說：這是一個多么漂亮的錯誤。事實證明，沒有留住他是一個嚴重的錯誤。

“之后，他在很短的兩三年時間里做出很重要的工作。我也看過卡拉比猜想的證明，慢慢理解它的重要性，尤其是：他的證明可以推廣去證明正質(zhì)量猜測。毫無疑問，他是當今最有影響力的數(shù)學(xué)家之一。除了數(shù)學(xué)外，丘成桐的文學(xué)也很好。他有一個很特殊的地方，他會寫胼體文。

“有人問我，現(xiàn)在我重新選擇專業(yè)的話，我會做什么選擇？我現(xiàn)在看理論物理，發(fā)展很是緩慢，不像我們那個時代，所以我說我會選擇數(shù)學(xué)。我聽說丘成桐有 60 多名畢業(yè)的博士，要我再選擇一次，也許我會做他的學(xué)生。”

對我們許多人而言，早已久聞楊教授的大名，但是卻很少有機會與他見面和交談，特別是在他和太太一起出席的場合。這里是又一張楊教授和他的太太的照片。

雖然丘教授和楊教授的研究領(lǐng)域不盡相同，來自不同的背景和時代，但是他們還是有許多相似之處。比如，楊教授是第一位華人諾貝爾獎得主，丘教授則是第一位華人菲爾茲獎獲得者。他們都在很年輕的時候獲得了各自領(lǐng)域的最高榮譽。他們都致力于推動中國基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展，對清華大學(xué)的數(shù)學(xué)和物理學(xué)科建設(shè)傾注了大量心血。

我們都知道數(shù)學(xué)和物理學(xué)的緊密交融，仿佛因彼此而生又相依相存。雖然數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家曾經(jīng)分道揚鑣，各自為政，但是命運之手又將它們連接在一起。數(shù)理的融會貫通和相互欣賞是人類文明進程中的最感人的摯愛篇章。事實上，從微積分和天體運動，到微分幾何和相對論，再到李群和量子物理，直至卡拉比?丘流形和弦理論。這是一個遠未結(jié)束的浪漫故事。

除了楊教授和丘教授的這次歷史性會面，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家間的頻繁交流由來已久。可以說曾經(jīng)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的稱謂并無不同，因為這兩個學(xué)科本來就沒有嚴格的區(qū)分。阿基米德、牛頓、歐拉、高斯、甚至黎曼，誰能說他們不是同時精通數(shù)學(xué)和物理。但是科學(xué)的迅猛發(fā)展，也許對于愛因斯坦，同樣的論斷不再成立。另一方面，數(shù)學(xué)和物理在各自領(lǐng)域仍然涌現(xiàn)著如同丘教授和楊教授這樣的偉大人物。自愛因斯坦、Dirac 和 Weyl 以來，楊教授是最懂得如何利用對稱原理到物理學(xué)的物理大師！鮮為人知的是，丘教授是哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系和物理系的雙聘教授。

除了上述這些，還有一個也許并不引人注意的事實值得一提。丘教授和楊教授都對自然界的一個基本原理 —— 鏡像對稱的存在與缺失現(xiàn)象做出了重要的貢獻。卡拉比?丘流形是十維時空緊化理論的重要基石；弦理論激發(fā)了卡拉比?丘流形鏡像對稱的研究，開創(chuàng)了一個嶄新的數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域。楊教授與李政道教授因合作推翻了愛因斯坦的宇稱守恒定律（即發(fā)現(xiàn)對稱破缺）而獲得諾貝爾獎。

即使很多受過高等教育的人也不見得理解對稱破缺的概念或者卡拉比?丘流形鏡像對稱原理，但是大眾更喜歡討論另一種和楊教授有關(guān)的對稱。當楊教授與現(xiàn)任太太結(jié)婚時，他 82 歲，楊太太 28 歲；而明年楊教授 93 歲， 楊太太 39 歲。

楊教授的致辭展現(xiàn)了他旺盛的精力、敏銳的洞察力和天然的幽默感。他在如此高齡仍然葆有健康的身體和心態(tài)。當然，他對物理學(xué)的巨大貢獻令他在國際學(xué)術(shù)界和公眾中有著無數(shù)的崇拜者，他的人格魅力也為他贏得了不少粉絲。

當楊教授向丘教授道別時，他邀請丘教授一定要來參加他的百歲生日宴會。丘教授回復(fù)說，他還要參加楊教授 108 歲的生日宴會。我們都期待著楊教授在他的生日宴會上再次飽含能量和睿智的致辭。

人們往往對那些顯然的事實視而不見。鏡像對稱的一個重要方面是數(shù)學(xué)與物理的交匯。如同雙向的車流，這種影響勢必是相互的。如同上面我們所提到的例子，數(shù)學(xué)與物理缺少了任何一方都無法存在。鏡像對稱也存在于學(xué)術(shù)之外：耶穌曾說“待人如待己”；孔夫子曰“己所不欲勿施于人”。如果人們都遵循這一處事原則，這個世界會更加安寧，但如此一來，也許又會讓人覺得有些枯燥。

卡拉比?丘流形及其鏡像對稱只是丘教授對數(shù)學(xué)的眾多深刻的貢獻之一。除了數(shù)學(xué)，丘教授還有許多其他的興趣愛好。比如他在詩詞和歷史方面有很高的造詣。

時空統(tǒng)一頌

時乎時乎　逝何如此

物乎物乎　繁何如斯

弱水三千　豈非同源

時空一體　心物互存

時兮時兮　時不再嶼

天兮天兮　天何多容

亙古恒遷　黑洞融融

時空一體　其無盡耶

大哉大哉　宇宙之謎

美哉美哉　真理之源

時空量化　智者無何

管測大塊　學(xué)也洋洋

數(shù)學(xué)與藝術(shù)也有密切的聯(lián)系。楊太太研究中國古典建筑，在楊教授帶動下，楊太太題詞。是的，對美的追求是科學(xué)與人文，乃至人生與愛情的真諦。

這次宴會上，我們還準備了一本小冊子，其中包含了丘教授的許多同事和朋友的評語，例如卡拉比?丘流形在物理學(xué)中的應(yīng)用等。

讓我們引用諾貝爾獎獲得者大衛(wèi)?格羅斯教授的評語：“近年來理論物理最驚人的發(fā)展是人們意識到卡拉比和丘成桐構(gòu)造的漂亮的幾何流形可以為十維超弦理論提供理論框架，其中六維空間緊化成為卡拉比?丘流形。古希臘哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家一定會很欣慰，在卡拉比?丘流形緊化之下，物的本質(zhì)與力的結(jié)構(gòu)由這些流形的幾何性質(zhì)所決定。這些解與流形的研究深刻影響了過去 30 年物理與數(shù)學(xué)的發(fā)展。”

關(guān)于卡拉比?丘流形在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，我們需要從歷史的觀點加以審視。數(shù)學(xué)中有許多深刻和著名的結(jié)果和定理，但是大多數(shù)數(shù)學(xué)家應(yīng)該會認同，單值化定理是過去幾個世紀中數(shù)學(xué)上最重要的定理之一。其分類了所有黎曼曲面，并可推出在任何曲面上存在常曲率度量。

我們再引用菲爾茲獎獲得者西蒙?唐納森教授的評語：“卡拉比在 20 世 紀 50 年代提出關(guān)于緊致復(fù)流形上給定里奇張量的度量存在性的猜想，以及丘在 20 世紀 70 年代給出的卡拉比猜想的證明是微分幾何中具有里程碑意義的成就。卡拉比的證明給出了第一個具有消滅里奇曲率的非平坦緊流形的例子，從而回答了整體黎曼幾何中的一個基本問題。更一般的，這個猜想和它的解決揭示了非線性橢圓偏微分方程與微分幾何的深刻聯(lián)系，激發(fā)了這個領(lǐng)域近 40 年來的巨大變革。在技術(shù)細節(jié)的層面上，丘所引入的關(guān)鍵想法以及復(fù)蒙日?安培方程的估計技巧至今仍然在被不斷地改進和應(yīng)用。

橢圓曲線的研究可以追溯到 18 世紀代數(shù)幾何與復(fù)分析的萌芽。到 20 世紀中葉，人們了解了 K3 曲面的許多特殊性質(zhì)。今天，受到理論物理中弦理論的啟發(fā)以及代數(shù)幾何的發(fā)展，我們得以認識到任意維數(shù)的卡拉比?丘流形的非凡與漂亮的性質(zhì)。雖然我們對其已經(jīng)有了諸多了解，還有許多深刻的問題和未解之謎，足夠好幾代的幾何學(xué)家投身其中。”

除了這些評語，晚宴上丘教授的朋友和同事們紛紛上臺發(fā)言，分享他們與丘教授交往的故事與回憶。晚宴由鄭紹遠教授與肖杰教授主持，他們的專業(yè)精神讓宴會氣氛歡快。

丘教授在多年的學(xué)術(shù)生涯中一直非常高產(chǎn)。一個問題是丘教授如何看待他自己的工作，特別是在慶祝他的生日會議這樣一個場合。在會議開始前，剛剛出版了丘教授的綜述論文選集，其中還有丘教授親自撰寫的關(guān)于這些論文的背景與評論。雖然許多著名數(shù)學(xué)家都出版過論文選集，但這也許是第一本正式出版的當代科學(xué)大師的綜述與介紹性論著的合集。

以下是丘教授論文選集中的兩段評論：

“在我證明具有非負里奇曲率的完備凱勒流形上不存在非平凡的有界全純函數(shù)之后，我試圖證明這個命題的實數(shù)版本，即具有非負里奇曲率完備流形上沒有非平凡的有界調(diào)和函數(shù)……但是所需要的論證比我最初想象的更具挑戰(zhàn)性……我仍然記得，為了應(yīng)用極大值原理，我嘗試了許多不同的檢驗函數(shù)。我經(jīng)常懷念斯坦福校園的日落美景，我待在辦公室驗證那些函數(shù)，很晚才出去吃飯。

“當時我正在思考如何構(gòu)造里奇平坦的非平坦度量，沒人相信這種流形真的存在。然后我發(fā)現(xiàn)卡拉比在 1954 年國際數(shù)學(xué)家大會上的報告，其中描述了我正在思考的這個問題在凱勒幾何情形下的版本……由于第一陳類具有簡單的曲率表達式，凱勒流形的里奇曲率也更加簡潔。愛因斯坦張量方程簡化成為一個數(shù)量方程。卡拉比告訴我，安德烈?韋伊對這個猜想有 興趣，但是認定非線性橢圓方程的方法還沒有成熟到可以解決它的程度。但是因為它提供了理解里奇曲率的關(guān)鍵步驟，我覺得自己應(yīng)該盡全力去解決卡拉比猜想。”

如果有人問丘教授最杰出的一項數(shù)學(xué)工作，答案很明確：他的關(guān)于卡拉比猜想的證明。他發(fā)表在《美國科學(xué)院院刊》上只有兩頁的短文給出了卡拉比猜想的解在代數(shù)幾何中的精彩應(yīng)用，令人激動又嘆為觀止。那么什么是丘教授最自豪的作品？雖然卡拉比?丘流形很重要，他的兩個兒子無疑更加珍貴。