第六十屆國際數學奧林匹克競賽（IMO）試題

今天第一天比賽已經結束，第一天試題如下：

第六十屆國際數學奧林匹克（2019年）

英國

第一天

1.設整數集為 Z.求所有函數f :Z →Z使得對任意整數a，b都有f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).?

2.在三角形ABC中，點A1在邊BC上，點B1在邊AC上.點P和點Q分別在線段AA1,BB1上，滿足PQ與AB平行.設P1是直線PB上的一點，滿足B1在線段PP1上（不含端點）且∠PP1C=∠BAC ，類似定義點Q1在直線QA1上一點，滿足A1在線段QQ1上（不含端點）且∠CQ1Q+∠CBA

證明： P，Q，P1，Q1四點共圓.

3, —個有2019名用戶的社交網絡，這些用戶中有某些人是好友關系，這里的好友關系是相互的.下述事件在他們之中反復發生，且一段時間內只發生一次：

有三個用戶兒A,B,C滿足A是B與C的共同好友且B,C間沒有好友關系，在事件發生時，B,C成為好友且A與B,C均解除好友關系.其它的好犮關系均保持不變.

開始時，有1010個用戶每人有1009個好友，另外的1009個用戶每人有1010個好友.證明：存在一個事件序列使得其發生之后每個用戶至多有一個好友.