美國國家奧數(shù)教練談如何真正鍛煉數(shù)學(xué)思維
怎么才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？
美國奧數(shù)隊總教練羅博深說：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，重要的是對數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。具備了數(shù)學(xué)思維，學(xué)生便能掌握尋找核心問題的能力。
羅教授也給出了四條建議，讓家長們在家就能幫孩子進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的鍛煉。
前不久，美國奧數(shù)國家隊的主教練，羅博深，作為卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的數(shù)學(xué)系教授，獲得大學(xué)頒發(fā)的“優(yōu)秀教學(xué)獎”。
很多人了解羅博深，是因為他在國際奧林匹克數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(IMO)中，交出的一份堪稱完美的成績單。
2015、2016年，他帶領(lǐng)美國奧數(shù)隊，連續(xù)兩年問鼎IMO團(tuán)體冠軍，改寫了美國隊在國際奧賽中21年無團(tuán)體金牌的歷史；去年，他帶領(lǐng)隊員在羅馬尼亞再次奪冠，成為當(dāng)之無愧的“金牌教練”。
而作為一名大學(xué)的數(shù)學(xué)系教授，他在教學(xué)領(lǐng)域，同樣頗有成就。
今年四月，羅博深被卡內(nèi)基梅隆大學(xué)授予The William H. and Francis S. Ryan優(yōu)秀教學(xué)獎，表彰他在教學(xué)中的創(chuàng)新和熱忱。
卡內(nèi)基梅隆大學(xué)，這所著名的綜合性大學(xué)，不僅它的計算機(jī)學(xué)院享譽(yù)全球，也以課業(yè)繁重、對學(xué)生的嚴(yán)格訓(xùn)練而著稱，連續(xù)多年被普林斯頓評論（Princeton Review）評為“全美乃至全世界訓(xùn)練最為殘酷的大學(xué)”之一。
想不到，“最殘酷大學(xué)”的學(xué)術(shù)活動數(shù)學(xué)課程，卻能受到學(xué)生的歡迎，選修人數(shù)逐年翻倍。
課堂上，羅博深引進(jìn)了分層的教學(xué)理念，讓不同能力的學(xué)生都能參與進(jìn)來，而且“顛覆”和“翻轉(zhuǎn)”了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，提倡“問題先行”，把課堂變成了由學(xué)生思考和提出解決方案的“思維訓(xùn)練場”。
在給低年齡孩子上課時，他也同樣提倡“問題先行”的教學(xué)方法。他會充當(dāng)“主持人”的角色，邀請學(xué)生們就某一個題目各抒己見，及時記錄和總結(jié)他們的觀點，整堂課就像是一場思維碰撞。
羅博深認(rèn)為：比起數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，更重要的是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。
21世紀(jì)是人工智能的時代，思維能力和創(chuàng)新能力變得前所未有的重要。這個時代，需要的是走在前面的人，而不是跟隨者或模仿者。
“如果你想領(lǐng)先一步，而不是亦步亦趨的模仿，靠的就是思維。它讓你在不知道從何入手的情況下，想出創(chuàng)造性解決問題的辦法。”
羅博深在卡耐基梅隆大學(xué)
在面向中小學(xué)生的公益講座、公開課中，羅博深經(jīng)常強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)思維”的重要性。很多孩子正是通過他的數(shù)學(xué)思維課程，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇妙，愛上了思考。
那么，他究竟是如何將看不見、摸不著的“數(shù)學(xué)思維”傳授給學(xué)生，讓學(xué)生對枯燥的數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的？
我們又該怎樣幫助孩子提升這一“數(shù)學(xué)思維能力”。
數(shù)學(xué)，是最基礎(chǔ)的思維鍛煉工具
前段時間，任正非在接受媒體采訪中，特別提到了數(shù)學(xué)的重要性。他認(rèn)為我們現(xiàn)階段之所以很難依靠自主創(chuàng)新，正是因為缺少在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等各個領(lǐng)域，踏踏實實搞基礎(chǔ)研究的人才。
羅博深對此很有感觸：“如果我們真的想要培養(yǎng)數(shù)學(xué)、科學(xué)等方面的高端人才，最根本在于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，否則，數(shù)學(xué)只是考試的工具和賺錢謀生的手段。”正如他自己一直從事數(shù)學(xué)教育，正是源于對數(shù)學(xué)的興趣，希望將這份樂趣帶給更多人。
不過，相對于任正非對數(shù)學(xué)人才流失的惋惜，羅博深的想法則更樂觀一些。他認(rèn)為，即使沒有留在數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)人才一樣可以做出自己的貢獻(xiàn)。
比如，Art of Problem Solving網(wǎng)站的創(chuàng)始人，也曾經(jīng)是數(shù)學(xué)系學(xué)生，雖然從事了金融工作，卻創(chuàng)辦了如今全世界數(shù)學(xué)愛好者都在用的網(wǎng)站。
怎樣提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣？在羅博深看來，基礎(chǔ)教育階段，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，尤其重要。
因此，作為美國奧數(shù)隊的總教練，雖然羅博深一直在指導(dǎo)著數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“最強(qiáng)大腦”，但是，他本人也同樣熱衷數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育，希望每個普通的孩子，能有機(jī)會利用數(shù)學(xué)這門工具，得到思維的鍛煉。
帶著這樣的信念，羅博深幾乎每周都飛往美國不同的城市，前往大學(xué)和中小學(xué)做演講和公開課；過去的一年里，他的足跡甚至遍布全世界，傳遞他獨特的數(shù)學(xué)理念，也了解各個國家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。
作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的重要性不言而喻。然而，一直以來，我們都熱衷于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、掌握解題套路，卻忽略了數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。
在羅博深看來，數(shù)學(xué)，無疑是鍛煉思維最基礎(chǔ)、最簡便的工具。
他解釋說：“雖然化學(xué)、物理等很多學(xué)科的學(xué)習(xí)，都能起到思維鍛煉的作用，但是，相比較這些學(xué)科，數(shù)學(xué)不需要借助太多學(xué)科知識，就可以進(jìn)行推理、證明等純邏輯的鍛煉。這也是為什么，數(shù)學(xué)，會成為所有學(xué)生最早開始接觸的基礎(chǔ)學(xué)科。”
那么，什么才是數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的表現(xiàn)呢？
羅博深表示，這和你掌握了多少解題套路無關(guān)。真正的數(shù)學(xué)思維能力，是當(dāng)你碰到一個完全沒有接觸過的題目，能獨立地想出解決方案。這其中，不僅包括推理能力，還有抓重點的能力。
面對一道復(fù)雜的題目，學(xué)生往往需要“透過表象看本質(zhì)”，抓住最核心問題。
羅博深解釋說：“比如，桌上有兩瓶礦泉水，形狀不同、款式不同，我們很可能被它們表面的復(fù)雜所迷惑。數(shù)學(xué)思維能力，讓你很快能找到問題的關(guān)鍵——它們的容量是一樣的！”
無論是推理能力，還是抓重點的能力，都無法通過“刷題”而獲得。
眼下，很多家長依然迷信題海戰(zhàn)術(shù)，認(rèn)為通過記憶更多的解題方法，不斷地做題和訓(xùn)練，就可以得到數(shù)學(xué)能力的提升。
羅博深表示：數(shù)學(xué)并非是一門記憶學(xué)科，也不是考查“熟練度”的學(xué)科。
如果我們只是讓孩子去記住解題技巧，不斷地練習(xí)以達(dá)到熟練，這個過程中，他究竟在其中投入了多少思考？
對此，他給了一個巧妙地比喻：“就好像，雖然你看了很多場足球賽，并不代表你學(xué)會了踢球。你需要去操場，嘗試踢不同的角度，在真正的踢球過程中學(xué)會踢球。
只有學(xué)生不斷通過自己的思考，去尋找解題方案，日復(fù)一日地強(qiáng)化，才能真正起到思維鍛煉的效果。”
去“刷”那些正確率只有60%的題目
羅博深反對“刷題”，并不意味著他反對“做題”。他也很贊同，在解決一道道數(shù)學(xué)題目的過程中，去鍛煉思考能力。
但是，做什么樣的題目？這里面卻大有學(xué)問。
羅教授認(rèn)為：想要提高數(shù)學(xué)思維能力，我們應(yīng)該花一些時間，去練習(xí)那些真正有挑戰(zhàn)性的難題，追求的是“質(zhì)高量少”。
“只有那些學(xué)生不能一眼就看出解題方法，而且成功概率差不多在50%到75%的題目，才是值得做的，有挑戰(zhàn)性的題目。”
現(xiàn)實情況卻是，很多家長已經(jīng)習(xí)慣看到孩子拿高分，當(dāng)他們看到孩子僅有50%的正確率，會很焦慮，覺得孩子沒有數(shù)學(xué)天賦。
因此，家長首先需要轉(zhuǎn)變思路，思考這樣的問題：“在傳統(tǒng)考試中達(dá)到 95%的正確率，就能說明數(shù)學(xué)很好嗎？這樣的考試，對數(shù)學(xué)思維鍛煉有幫助嗎？”
羅博深強(qiáng)調(diào)說：“那些真正會學(xué)數(shù)學(xué)的人，反而不愿意浪費時間在正確率很高的考試和練習(xí)上，讓他們感到開心的是背后的挑戰(zhàn)，而不是表面的分?jǐn)?shù)。這樣的學(xué)生，不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上表現(xiàn)優(yōu)異，在各個方面都會有飛快的進(jìn)步。”
在羅博深的課堂上，他會提供具有一定難度的題目給學(xué)生。甚至，這些題目可能看上去有點“超綱”，是高年級階段的考題。
但是他認(rèn)為：“值得思考的好題目，有時候是不分學(xué)齡和年級的。”只要了解其中的知識點和概念，并且可以通過已知的知識進(jìn)行推理，那么，它就屬于學(xué)生能力范圍內(nèi)，可以去嘗試和挑戰(zhàn)的。
不過，無論是設(shè)置課堂練習(xí)，還是為學(xué)術(shù)活動出題，羅博深都會過濾掉這樣兩種題型：
首先是那些傳統(tǒng)的，學(xué)生已經(jīng)看過、練過、可能掌握一定技巧的題目；
其次，是沒有真正的思考價值，僅僅只是為了增添解題麻煩程度的題目。
為了方便學(xué)生和家長，找到合適的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題目，羅博深推薦《Competition Math For Middle School》這本書。他表示，在美國這本書非常風(fēng)靡，參加初中數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動的學(xué)生，幾乎人手一本。
《Competition Math For Middle School》（目前只有英文版本）
這本書上的習(xí)題，分成代數(shù)、幾何等不同方向，難度逐漸遞增，方便學(xué)生循序漸進(jìn)地思考，并且配套詳盡的推導(dǎo)過程。
因此，雖然面向初中數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動，但是小學(xué)一年級的學(xué)生，只要有了基本的加減乘數(shù)運算概念，完全可以用它進(jìn)行思維鍛煉。
羅博深的女兒，就是從一年級開始接觸這本書。他還表示，很多感興趣的家長，也可以通過這本書和孩子一起學(xué)習(xí)，“因為你不需要背公式、記解題套路，真正的思考過程，一點都不無聊”。
數(shù)學(xué)老師應(yīng)該是一名“向?qū)А?/strong>
傳統(tǒng)教學(xué)中，往往是由老師先做一遍示范，告訴學(xué)生某一種題型的解決思路，再讓學(xué)生將這樣的題型多練習(xí)幾遍。
羅博深認(rèn)為：這種“輕思考，重習(xí)題”的傳統(tǒng)教學(xué)方法，并不能真正鍛煉數(shù)學(xué)思維。
想要提高數(shù)學(xué)思維能力，老師在課堂上的角色是，指導(dǎo)學(xué)生通過自己的思考，想出解題做法，而不是老師直接示范怎么做。
因此，哪怕是面對低年級學(xué)生，羅博深也會像在卡內(nèi)基梅隆大學(xué)一樣，采用“翻轉(zhuǎn)課堂”的形式來授課。
課堂開始前，他會展示給學(xué)生今天要解決的題目，請學(xué)生來提出想法，自己則充當(dāng)“向?qū)А钡慕巧Ｔ谶@過程中，“向?qū)А辈恍枰呒榷肪€，完全可以隨著學(xué)生的興趣去探險。當(dāng)學(xué)生走進(jìn)一個‘死胡同’，“向?qū)А眲t會提醒，是否應(yīng)該換一條路。
“這樣的課堂，看似花費了時間，卻能在沿途收獲更多風(fēng)景，也讓學(xué)生知道，解決復(fù)雜的題目時，需要思考各種可能性，在多方嘗試中找到答案。”
羅博深相信，這不僅能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還能培養(yǎng)不斷試錯、大膽發(fā)散、持之以恒的思考習(xí)慣。
有了這樣的習(xí)慣，當(dāng)他們再遇到棘手的問題時，才會有耐心、愿意花費時間和精力，將它克服。
雖然，不可能人人都有機(jī)會成為羅博深的學(xué)生，但是他依然希望能將自己的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練方法，帶給更多人。
他不僅開設(shè)了微信公眾號“羅博深數(shù)學(xué)”，分享趣味數(shù)學(xué)題和自己的學(xué)習(xí)理念；也錄制了一系列視頻課程，讓很多原本恐懼?jǐn)?shù)學(xué)的孩子，也走進(jìn)了奇妙的數(shù)學(xué)殿堂。
繁忙工作之余，羅博深把閑暇時間的日程表排得滿滿當(dāng)當(dāng)，占據(jù)大部分的是針對中小學(xué)生的公益講座、公開課。因此，他很了解，學(xué)生在面對一道難題時，他們的疑惑是什么，能夠想到的方法是什么。
在面對任何問題時，他都會假設(shè)自己是一名普通學(xué)生，先順著學(xué)生的思路，嘗試用他們能看懂的推理過程，一步步推導(dǎo)出背后的解題思路；而不是直接告訴學(xué)生，最高效、最漂亮的解題公式是什么。
正是因為站在孩子的角度，哪怕是低年級小學(xué)生，聽他的課也能興致盎然，信心十足。在這里，他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并不是一堆枯燥乏味的公式，而是一種思維的魅力與樂趣。
家長如何幫助孩子提升數(shù)學(xué)思維？
談及自己對數(shù)學(xué)的興趣，羅博深表示，這要歸功于參加美國初中數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動期間，遇到的一位數(shù)學(xué)教練，是他引領(lǐng)自己，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力之處，也激發(fā)他成為一名數(shù)學(xué)教育者。
“在孩子的學(xué)習(xí)成長過程中，如果能遇到一個熱愛數(shù)學(xué)、能激發(fā)孩子興趣的老師，那是幸運的。如果沒有遇到這樣的老師，家庭環(huán)境也可以做一些彌補(bǔ)。”
羅博深給到家長以下幾個小建議，在家庭中，也可以給到孩子正確的數(shù)學(xué)啟蒙和思維能力的培養(yǎng)。
1數(shù)學(xué)和計算，不是一回事很多學(xué)齡前兒童和小學(xué)生的家長，往往會將數(shù)學(xué)能力，等同于計算能力。在孩子開始學(xué)“加減乘除”時，他們會太過計較孩子的計算速度，或者準(zhǔn)確率。
羅博深強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)能力，不等于計算能力，這是兩回事。”不能因為孩子的計算能力薄弱，就斷定為孩子不適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這會讓孩子產(chǎn)生“挫敗感”，從小對數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼，甚至?xí)K身形成“我不擅長數(shù)學(xué)”的心理暗示。
2多問孩子“為什么”在家庭生活中，家長完全可以多問孩子幾個“為什么”，來鍛煉他的數(shù)學(xué)思維。
羅博深舉例說，哪怕是簡單的乘除法學(xué)習(xí)，也可以通過追問，引導(dǎo)孩子思考背后的數(shù)學(xué)原理。因此，自己的女兒4歲時，就學(xué)會了乘法，她可以回答出4×6是24，當(dāng)然她并不是通過死記硬背，而是通過已經(jīng)掌握的加法運算，完成推導(dǎo)。
也許，死記硬背的方法，能讓孩子脫口而出，更快掌握；但是數(shù)學(xué)并不等于記憶，多一些對背后原理的思考，才能達(dá)到思維訓(xùn)練的效果。
3鼓勵孩子去挑戰(zhàn)難題一個真正能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的家庭環(huán)境，會鼓勵孩子去挑戰(zhàn)那些富有挑戰(zhàn)性的難題。
羅博深談及，女兒在10歲左右，就開始嘗試美國高中數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動中，那些沒有超出她能力范疇的題目。無論是一個小時，還是一整天，只要孩子愿意把時間花在思考上面，這本身就是一件值得鼓勵的事情。
此外，當(dāng)孩子思考遇到困難時，家長也不要直接給出答案，而是一步一步地提示和引導(dǎo)，永遠(yuǎn)不要剝奪讓他們思考的機(jī)會。
4在興趣的基礎(chǔ)上，每天花1-2個小時很多家長困惑，在現(xiàn)有的學(xué)業(yè)壓力下，一名普通學(xué)生究竟每天應(yīng)該花多長時間，來鍛煉他的數(shù)學(xué)思維？
羅博深表示，“應(yīng)該讓孩子花他們想花的時間，大概在1-2個小時。”他特別強(qiáng)調(diào)說，孩子是否對數(shù)學(xué)感興趣很重要，這是前提。否則，被逼著每天學(xué)習(xí)1-2個小時，只會讓孩子更討厭數(shù)學(xué)。
家長首先要做的，是激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣。比如，尋找有趣的數(shù)學(xué)書、思維挑戰(zhàn)類的繪本、思維訓(xùn)練課程，通過這種碎片化的積累，讓孩子萌發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣。
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