數學競賽學習方法漫談

今年七月，我有幸作為中國國家隊的一員參加了第58屆國際中學生數學奧林匹克學術活動（IMO)，并獲得了一枚金牌?；仡櫫陮W術活動之路，我從開始的一個懵懂無知的新人，一路上經歷了不少挫折，走了不少彎路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套學習學術活動的方法，最后的結局也是幸運的。而正是這份幸運，讓我覺得有責任把自己學習數學學術活動的經驗與心得分享出來，希望后來者能吸取我的經驗和教訓，找到自己的不足，并更好地看清未來。

1.影響成績的因素

對于一場考試，我喜歡用以下3個參數來衡量最終的分數：

最終分數=實力分x運氣分x狀態分。

其中實力，運氣，狀態均為非負實數。

這里，“實力”顧名思義，盡管不好量化，但是一般來說實力相差很大還是能看出來的。

“運氣”主要代表“題目是否對路”，比如一個擅長幾何的選手參加一場幾何送分的考試，當然運氣分較低；而參加一場幾何難度他剛剛好能做出來的考試，運氣分就比較高了。當然，運氣分是取決于考試本身的，可以認為主觀上不能改變它，但是在集訓隊這樣的多次考試中，平均下來，運氣會比較穩定；并且，我們可以用比如“補短板”或者“狂刷一科”等方法改變運氣分的波動大小。另一方面的運氣來自于改卷，即能不能得到預想中的分數，這一點理論上來說也是不能自己操縱的，但是可以通過加強書寫等方法提升。

“狀態”源于自身，常見的影響狀態的因素有，比如考前一晚睡不著，考試很冷手凍僵了，旁邊的同學一直發出噪音等等。當然，也可能會有狀態莫名超好的情況，但是我們不能控制自己超常發揮，只能期望盡量發揮正常。

2.如何提高成績

我們當然要“提升實力”，但同時也要注意一些很容易被忽略的地方——提升運氣和狀態。這看似很難處理，但實際上還是有跡可循的。運氣方面，第一點是之前說的“補短板”與“狂刷一科”。補短板是實力進階的必經之路，我一直認為，一名真正優秀的選手并不一定要做出很多人都做不出的超難題，但是一定要做出有足夠多人能做出的題，這就需要了解不同的方法，覆蓋更多知識面，做真題。“狂刷一科”是實力不夠的情況下的賭博。比如就想聯賽做出倆題混一等獎，然后狂刷代數與幾何之類的。我對這種方法不予評價，但反正我自己的經歷是，凡是賭博的情況都必輸，實力不到說啥都沒用，不如按部就班的來，讀者可以自己考慮實力不夠的時候的做法。第二點大概就是關于過程的書寫，事實上，很多人對自己的過程非常有自信。如果你批改過其他人的過程，總會覺得“這啥意思?。扛懔税胩於疾恢老敫缮丁被蛘摺斑@里一句話帶過根本就不顯然嘛”。一般來說，過程寫不好有兩種：如果你講都講不清楚，那么可能是語文學的不好，請回爐再造；如果跟別人講思路的時候別人可以理解，但是過程寫不好的話，可能是沒有掌握好寫過程的技巧。寫過程的主要目的有兩個：一是要準確，不能讓老師誤解你的意思；二是要通俗易懂，節省老師的時間，讓老師能夠比較容易get到你的過程的脈絡。

所以針對第一點，要學會過程的“數學化”表達：比如很多組合問題，直接表達就像寫小說，如果可以換成集合或者圖論的語言，又或者把它代數化表示，就簡單很多了；另外，過程里的因果關系要清晰，至少要表達出“由什么推出什么”，這就需要多使用連詞：因為（由于、注意到）＋所以、若＋則＋所以＋從而、我們斷言（證明）＋事實上，以及右箭頭“=>”。就算連詞使用不多樣，至少要達到的要求是：老師知道你的每一個結論是由那些結論推出的。

而第二點其實容易被忽視。我經?？吹接行┻^程一路往下推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；語言又完全用的是集合的方法，全都是定義和運算，讓人摸不著頭腦。這時候，一旦出現一些筆誤，很有可能老師就“如釋重負”地圈起來給0分了。這就像寫一篇議論文，要是你一直舉例子不立論，當然不會給高分。這就需要把證明的脈絡清晰地刻畫出來，常見的連詞有：證明分為如下幾步、下面證明一個引理（結論）、我們斷言（證明）以下結論、我們只需證明如下結論即可證明此題。這樣的好處是，如果你斷言的關鍵步驟恰好是答案中的步驟，或者老師知道是對的，那么老師就大致知道你做出來，只需驗證一下細節即可；就算你的證明出現了一些漏洞，老師也能知道你做出了什么，會更容易得到步驟分。

當然，還有一個大大增加可讀性的方法：畫圖。特別是組合題，很多組合題用代數語言表達很繁瑣，不易找到重點，也容易出現筆誤，那如何讓老師知道你想做什么呢？那就是畫圖。如果要把一個圖按照某種策略三染色，就畫一個示意圖，然后用ABC標頂點，看上去就清楚多了嘛；就算幾何題是用復數算的，畫個圖，讓老師不用自己找圖，也不是什么難事吧？

最后我談談騙分。時間快到了的時候還是做不出題目，想爭取一些過程分的情況是常見的。但是我非常非常反對大家東扯西扯，然后說證畢——做不出來就做不出嘛，要承認自己就是在混分，至于能給幾分就看你做了什么結論了；但總有一些人不會做就瞎搞一通然后證畢。這樣的人多了，就加大了老師判卷子的難度，就會連累一些“好人”。反正我覺得，要是明知道是錯的還寫證畢，絕對是敗人品的行為。

狀態方面，我覺得有兩點：一是平時加強模擬考試——模擬考試絕對不僅僅指的是做一套題那么簡單！我覺得模擬考試要起到效果，必須完完全全地模擬真實的情況。特別是4、5小時的考試，很多人只是開始兩個小時上三板斧，然后消極怠工，這其實一點效果都沒有。真實考試有4、5小時呢，要是平時這么模擬，真實考試的最后2個小時難道你就能繼續保持極高的做題狀態嗎？二是平時做題最好“認真對待”，兩天的考試可以帶著一些心理負擔，這樣真正考CMO這樣的考試萬一面對第一天考試失利，就不會心理太崩盤。

Part2各級學術活動

一、聯賽

全國高中數學聯賽是高中學術活動的第一步，但其實也是不確定性最大的一步。不同的省份有不同的聯賽的備考攻略。如果你來自一些超級聯賽強省，比如上海、浙江等，那么你的一試水平一定要過硬，因為正常的年份很可能會出現很多人二試并列拼一試的情況；但如果是中等的省份，就拿廣東舉例吧，在大部分年份二試3題＋一試90分可以進省隊，并且二試2題的話幾乎進不了省隊，所以其實只需要做“適當”的一試練習，然后把重點放在二試上。注意，這里的“x題”指的是最終得分，不同的省改卷嚴格程度不一，但是一般來說，被判錯是少數，并且很有可能是自己的問題（有些人經常寫偽證自己看不出來，或者寫過程水平太差確實沒法看，卻自我感覺良好），所以在備考的過程中要訓練自己的書寫，要盡量寫的嚴謹、工整，避免被判錯；但至于最終結果要是還被判錯了，也沒辦法啊，盡力而為，問心無愧。

由于聯賽的考場很多，并且各地規則不一，請盡量熟悉自己將去到的考場與考試細則，并在考前做好充足的準備，避免出現考試之外的問題。筆者在參加聯賽的過程中曾經遇到過以下問題（都是血的教訓?。?

考場偏僻，當天起的很早趕赴考場，很疲倦；

考場空調直吹，極冷；教室很大，老師發卷不及時，導致開考5分鐘才拿到卷子；考試要求換草稿紙（收一張給一張）；洗手間較少，要等很久等等?？傊?，在考試之前，一定要做好充分的準備，聯賽畢竟沒幾次，要按照高考的規格對待，提前踩點，準備充足的衣物、食物，避免因為考前準備不充足痛失好局。聯賽與之后的比賽的最大的兩點區別就是：時間短，對書寫要求高。所以聯賽的模擬更注重踏踏實實地掐表做，并認真寫過程，最好讓別人批改或者自己對著答案很仔細地檢查筆誤和寫的不好的地方。部分因為時間原因沒有做出的題目可以考試結束后再想，在考試的時候一定要保證“分數最大化”，該跳過的題就跳過，這樣在真正的聯賽中才不容易手忙腳亂。

聯賽有一個不太好的地方：答題的區域非常小，尤其是二試第一題，要是想到了一個很復雜的方法，有可能要挖掉一大半第二題的空間才能寫下。因此在模擬的過程中也要注意這一點千萬千萬不能寫錯！在考場上若是發現寫了－大半的過程都是錯的，修正思路很長，真是欲哭無淚……不差這幾分鐘，要想好了再寫，多花點時間寫，表達盡量清楚，因為聯賽時間緊。還有一個問題就是如何快速寫出合要求的過程，這也是需要平時訓練的。很可能最后留給一試最后一題的時間只有5分鐘了，如果你快速讀完題目后直接開始寫，抓得分點，說不定最后能有10分。

總之，模擬考試的最高境界就是“平時如考試，考試如平時”。平時訓練的過程中一定要計時作答，做不出來的題也要寫上已得到的結論，完全模擬考試的狀態。同時，在一試二試都模擬完成之后，可以再回頭做做因為時間不夠沒有完成的題目，從各方面思考“如何做到更好”——總結新出現的題型與錯誤的原因，總結考試的時可能出現的錯誤的時間分配。

1.一試

先說一試。我的一試水平歷來都不算好，但是也不算差，大概就是所謂的“90分”標準。我個人認為90分應該是適當訓練可以達到的，而且在訓練得當的情況下，基本可以保證拿到這個分數。當然，我的訓練其實不多，（因為前而說的弱省原因），但是也不算少。首先，如果你剛學高中學術活動，對一試的知識點掌握的還不透徹，那么大概還是需要把套路過一遍的——這個過程有點像準備高考，但是要求更高。如果有教練當然極好，讓教練幫著補補就好了；如果自學的話，大概需要做一些題。一試我能想到的問題大概是下面的這些東西：解析幾何，其實來來回回方法就那么幾種：設直線方程配合韋達定理，設點，設參數方程；還有稍高級的方法，比如幾何法，曲線系，極坐標，極線方程，仿射變換，等等。當然，解析幾何看著容易，做起來卻沒那么簡單，需要很好的計算能力，也需要靈活變通，這就需要大量的練習了。做解析幾何題的時候要注意：真正比賽的解析幾何題目的答案一定不會太過于復雜。如果你在做題過程中發現比如求出的函數是無比困難的，很難求出最小值，那么可以考慮要么進行一些代換，因為這個表達式里面理論上來說肯定可以提取一些局部，切勿暴力求導；也可以試圖先猜出特殊點，看看能不能直接證明大小關系。如果求出的動點坐標所要滿足的參數方程很復雜，無從下手。你可以嘗試在原來的圖形里猜出動點滿足的條件大致是什么——無非就是直線或者二次曲線之類的嘛，那么比如把x,y坐標平方乘系數加加減減說不定就全部消掉了。當然，做解析多了之后，要總結經驗，在花了一定時間做不下去，一定要趕緊止損，換個方法，說不定不費很大力氣就做出來了。最后，要記住，驗證平行坐標軸的情況。

數列技術含量稍高，不過絕大多數數列問題都是可以用局部不等式或者裂項做出來的。少數有高級技巧，比如積分估計，三角函數換元之類的。個人覺得數列其實難度很難估測，有的題目確實有難度。當然，就聯賽的真題來看，數列題目并沒有很多模擬題那么難，需要注意的是一定不能著急的瞎放縮，要多變形）——絕大部分的數列都是用代數變形后裂項做出的。

大題里面可能還有一道求導的題目或者其他題目。這一類題目個人覺得沒啥技巧，簡而言之，練。代數的硬功夫是很重要的，這在之后做更難的代數題中會有用。

立體幾何對于自學的同學來說往往會比較頭疼，因為答案的做輔助線方法有時候真的很匪夷所思。那就不這么麻煩吧！立體幾何有一個萬金油方法——算！由于近年都出的是填空題，所以其實很多細節都可以不用處理（這是權宜之計，我推薦大家多學其他方法，保不準就出大題了……但如果想短時間提高的話，只會這樣算就好了）。自己查一下怎么算法向量，然后做幾個題，了解怎么算二面角、異面直線距離，然后做幾個題試試手感，之后就再也不會為立體幾何擔心啦！

剩下的題目，算是其他題目吧，其實套路也有不少，需要大量練習，通過練習逐漸學會一些技巧。每個人都是從30分做到100分的嘛，開始不要著急，如果遇到完全沒有辦法的題目可以適當想想暫時跳過，記住答案里面的關鍵點，在下一次見到類似的方法時不要忘記就好。

一般來說，在經過至多一年的學習，一試水平大概就可以達到“90分”目標，偶爾能全對，但也可能算錯很多題劃水。這個時候，基礎的東西都學會了，剩下的提分點就在考試的狀態上了。關于一試的時間分配，我個人的習慣是，30分鐘做完填空題，然后一道一道地做大題（前兩個大題大約做10到15分鐘，最后二個比較難的話就一直做），但是最后至少留下10分鐘檢查。我覺得在練習的過程中找到自己熟悉的節奏很重要，并且考試的時候要嚴格執行之前的策略，不要為了貪最后一個題目放棄檢查（當然，如果你的習慣是不檢查，也可以）。

我推薦在至少離考試還有2個月的時候開始進行一試模擬訓練，大概每2到3天做一套計時的一試題。開始的時候肯定狀態不會太好，容易算錯，但是經過比較長的熟悉之后，在離考試將近一個月左右的時候應該問題就不大了。但是狀態還是要繼續保持，如果突然出現狀態特別差，不要疲勞作戰，可以先休息調整一下再仔細分析在考試過程中出現的時間分配問題（錯的多的情況往往是因為花了過多時間做難題導致時間分配不均）。

2.二試

再說二試。聯賽不確定性最大的地方，大概就在于二試。我認為聯賽二試是數學學術活動中最不容易穩定發揮的考試。時間太短導致隨機性很大，盡管題目一般本質不算太難，卻也都有關鍵的步驟。從二試到之后的“大題”訓練是數學學術活動的重點，不過好在聯賽二試的題目，說難也不難，相對CMO等之后的考試而言套路比較少。個人認為有集訓隊實力的同學應該做聯賽二試的題目不會很困難，具體的專題訓練寫在之后了。這里只提一點聯賽二試要注意的問題：聯賽二試時間確實很緊，平均每題半小時多，很容易因為慌張或者時間不夠發揮失誤。所以萬一遇到不對路的題目，在做了一段時間之后，要選擇果斷跳過。這里的分寸也是要在模擬考試中慢慢總結出來的，因為有的時候盡管題目本身可能不難，如果思路陷入“死循環”，再浪費一個小時很可能還是做不出來。再者，如果最后還剩下1個小時，并且還剩兩個題目，最好的做法是讀題之后選一個做，不要來回跳（剩下多個題目也是類似的）。在時間不足的情況下靜下心來想題也是一種能力。

關于具體的答題，我覺得最要注意的就是不能“超綱”了。有些人在培訓中得到了很多很強的結論和性質，但是在聯賽中，要謹慎使用，最好給出證明（也可以留個空位，看情況，有時間最后補）。特別的，幾何題非常不推薦用復數法，重心坐標！不到萬不得己，不要采用這幾個方法（當然，要是真的不行就死馬當活馬醫吧）。

反正，要是有分，你要慶幸；要是沒分，不要怨改卷老師。這些“高級”方法或多或少需要用到一些考綱外的性質．可能會扣分；并且計算法解幾何出現筆誤其實很正常。聯賽幾何，一般來說最好算的方法是三角，可以多練練三角計算（當然，純幾何也是要練習的）。

二、CMO

來到了CMO，就意味著進入了真正的“IMO模式”了。4.5小時3題，這個時間我覺得不算長也不算短—若是題目順手，3小時足以完成3題；但只要有至少一題“卡住”了，就很可能出現時間不夠用的情況（有思路沒時間）。當然，對于初次接觸這樣類型的考試的同學，很可能做不滿3小時就己經找不到突破口，無所事事了。這其實是很正常的，所以在訓練中，最的就是鍛煉如何在“卡住”的情況下調整心態，尋求突破。關于CMO的備考，個人覺得不能只是從得知自己進入省隊開始，而應該是一個更有計劃性的長期過程——從學數學學術活動的初期開始就應該不時挑戰一些比較難的題目，這樣在真正進入省隊之后才會有足夠扎實的基本功。不過無論如何，備考的初期還是要先把所有CMO范圍內的專題過一遍。在CMO中可能出現聯賽不考（或者考的很淺）的很多知識點，比如復數、多項式、函數方程、圖論等，至少不能出現明顯的短板。

從CMO開始，理論上來說答題紙可以無限用，可以自帶食物，大部分方法也可以直接使用，包括高等的方法（當然，要是你使用了一些大定理解決問題，很有可能只有部分分數）。換句話來說，就是限制條件變少了，大家可以憑借自己的本事各顯神通。

CMO的考試與聯賽還有一個較大的不同。CMO考試時，參賽選手匯聚一堂。這有好處也有壞處：你可以與各地高手親密接觸，體會舉辦地的風土人情，但也要充分考慮舉辦地的氣候，伙食等生活條件的差異。我參加過的兩屆CMO都在吃辣的地域舉辦，結果吃東西很不習慣，肚子有些不舒服，影響了考試狀態。如果不習慣酒店的飲食也可以出去吃，但一定要多加注意，避免出現考試腹痛腹瀉的悲劇情況。

另一方面，冬令營在冬天舉辦，最好提前調查好考場有沒有空調和暖氣，帶好足夠的保暖衣物；如果可以的話，可以多提前幾天去適應環境。我曾經參加過的冬令營就出現了手凍到難以寫字的問題。

而關于做題狀態的保持，我建議至少每個星期做一次模擬考——連續兩天，每天上午做4.5小時的題目，模擬考試狀態，不能沒做完就提前交卷或者消極考試，寫過程?？纪曛蟮南挛缈梢孕菹?，保持精力，也可以繼續做題或者和同學討論，然后認真批改過程，對比標準答案找出所有筆誤和說不清楚的地方。

在CMO過程的書寫上，由于整體時間較多，所以其實不用太著急。寧可慢慢寫，也不要因為寫的太著急而出現偽證，或者因為字跡模糊被扣分。這里要特別提一句：如果提前做完了卷子，不要提前交卷，也不要趴在桌子上看別人做題。一定要認真檢查自己的過程，甚至把寫的不好的過程重新抄正！在題目簡單的時候，任何一點跳步都可能成為最后的血的教訓?！扒Ю镏?，毀于蟻穴”，不要讓自己多年的努力因為最后幾個小時的懈怠功虧一簣。

如果你從來沒有考過一次4.5小時的考試，找一個安靜的地方，一套沒做過的CMO真題，考一次試試吧。開始做題的時候要有一種信念，就算真的一點東西都得不出來，也不能坐在座位上發呆思考人生或者無腦的在草稿紙上抄式子——這是“慢性自殺”的做法。如果把沉浸在題目中的時間叫做“有效時間”，有效時間越長，就說明考試狀態越好。

在考試之中一時做不出來題其實是很正常的，如果真的感覺什么都得不出來，可以嘗試以下的事情：

去洗手間洗把臉，順便在走廊跑跑，活動一下筋骨；

喝點水，吞一條巧克力；在紙上列出你能想到的有希望解決此題的所有可能的方向，然后選擇一個沒有嘗試過的去嘗試。

最后一條比較關鍵：

絕大部分情況，題目都是正確的，并且存在一個分為若干步驟，每一步驟都可以很容易理解的方法，并且這個方法的答案長度不會超過兩張A4紙。

做數學學術活動題是建立在題目存在這樣的方法的基礎上的。所以如果你花了很久都沒有攻克題目，很有可能并不是題目本身很難，而是你“誤入歧途”，常見的情況有：第一步想當然地找到了一個看上去形式比較簡單的等價命題，或者“不妨設”了一大堆條件，表面上是賺到了，但事實上從原題直接出發處理比較容易，轉換過后反而變難了；一直想直接做出來，但是實際用歸納法可以大大簡化問題；一直想歸納，但是實際上命題并不具有歸納結構，反而應該在原題里面直接處理；

原題的條件可以直接推出一個很強而且很有用的結論，但是你沒有發現。

這幾點表面看上去很簡單，但實際上，在真正做題的過程中很有可能還是陷入了死胡同出不來了（因為有時候可能真的只差了一點，不忍心放棄）。怎樣“在適當的時候判定這個方法沒有用，并且盡快進入下一個分支”是學術活動高手的一種能力。一次考試之中，把越多陷入困境的題目做出來，就算是考試狀態越好，在陷入超過2小時的困境后做出一道題目，就算是成功入門了CMO類的考試了。

在這樣的4.5小時的考試中，題目的難度未必是按照順序排列的。一般來說，老師選題的時候會認為難度是遞增的，但實際情況可能會有很大不同。

如果在靠前的題目卡住比較久，千萬不能慌張，可以跳過它做下一題。特別的，有時候第一題可能看著并不難，但是卻一時想不到的話，可以先跳過它做2、3，如果能做出一題，就“解毒”了，心態會平穩很多，也就能比較順利的做下去了。

我曾經在考試中花了很久都做不出第1、2題，但是跳到3的時候，卻立刻有思路（但其實3非常難），然后回頭，最終依次做了2與1。如果我一直對著第1題猛攻4個小時，很可能最后顆粒無收，出了考場才會懊惱沒有看3。所以思路要靈活，不能吊死在一棵樹上。

還有一種常見的情況，就是在考試進行到了靠后的時間，卻顆粒無收。比如在第3個小時的時候還一題都做不出來。這個時候，很多人肯定己經在思考：其他同學一定會嘲笑我，也沒有好大學讀了，只能和其他人一起高考……這樣是非常錯誤的！能減少這種情況發生的方法大概就是在平時練習的時候模擬考試的環境，比如邀請幾個同學一起做，這樣在長時間做不出題的時候開始會比較焦急，通過一次一次考試的訓練漸漸達到沉浸題目之中，不受其他狀況影響。

考試的最后半個小時往往也很有意思。我做題的時候，“半小時魔咒”經常出現——之前的很長一段時間思路停滯，最后半小時卻忽然思如泉涌。我也不知道是為什么，但反正，如果最后半個小時突然有了思路，千萬不要慌張，更要沉卜心來認真想，一邊想一邊把想法寫在卷子上。我曾經多次在考試的最后半個小時做出題目或者得到關鍵性步驟，這樣的臨危不亂也是需要平時練習的。

備考CMO，不同的同學有不同的題目選擇。但是有兩套題目應該是所有人都會做的：近年的IMO預選題（可以從IMO官網下載），《走向IMO》里面的CMO、集訓隊真題。

一般來說，這些真題如果你完全按照4.5小時3題的這種考試模式，幾乎是做不完的。當然，在初學階段，不建議把所有的第一題都挑出來做掉或者大面積看答案，因為這樣會導致以后損失很多套題。

冬令營雖難，但是實際分數線卻并不算太高，并且由于考試時間長，狀態的波動較小，所以比起聯賽并不算隨機性太大。我個人覺得，像前國家隊隊員這樣非常強的選手，應該是可以保證能夠進入下一年的集訓隊的；而省隊呢，特別是在“拼一試”的強省，可能需要更多的訓練。

最后說一下第一天考完的心理調整。

我強烈建議，在第一天考完之后不要與其他人對答案，不要看討論題目的網站。反正如果我是你的競爭對手，我肯定一看題就說“怎么這么簡單，我們學校全部滿分”，讓你心態崩盤；

而且就算是真的自以為做了3題，實際能拿到多少分絕對是未知數。一般來講考完第一天狂水貼的人都比較浮躁，很有可能真的偽證了。再說了，退一萬步，即使真的有10個人說自己做出3題，集訓隊有60個人呢！你要是做的不好，很可能其他人也做的不好。

所以最正確的心態就是：該吃吃該睡睡，不要想太多，還有一天呢，在考完所有的考試之前，一定不能放棄，也一定不能驕傲。

考試的最佳狀態就是忘記之前的一切，忘記你的競爭對手，把每場考試當成第一場考試，把你的對手當成自己。盡力多做出一道題目，多掙一分。

三、TST

TST就是集訓隊。進入集訓隊就保送了，很多同學會有自己的打算。我個人認為集訓隊水平靠前的同學和靠后的同學還是有一定的實力差距的——可能集訓隊里大約有15個同學算是可以“保證”進入集訓隊的，而有一半的同學實力跟前面那些同學有比較明顯的差距，進集訓隊有一定運氣成分。每年集訓隊中，都會有一半左右的同學放棄備考，從冬令營結束開始準備自己的事情——比如準備出國，看大學數學，勾搭妹子，打牌等等。我覺得不能說這樣的同學是錯的，相反，比起很多從冬令營結束開始一直在備考的同學，他們真的“賺到”了一段很寶貴的時間，可以比很多人在之后取得先機。當然，如果自認為有進入國家隊的實力，我更希望你能認真準備集訓隊的考試，并向國家隊發起沖擊，如果可以的話，為中國隊盡自己的一份力。今年的集訓隊考試公布了分數，從分數所反應的情況來看，集訓隊測試有兩個很容易被忽視的地方：

第一點，穩定性

考試結束之后，我們都認為分數線比預想低。是的，這樣的分數線其實不要求你做出很多少于10人做出的難題，僅僅只需要把那些“非難題”全部穩穩地拿下即可。這并不是說在練習和考試的時候不做難題，而是說，其實相當一部分非常有實力的選手并沒有拿下那些“不難”的題目，所以在練習和考試中，一定要練習拿下“非難題”的能力，減少失誤。一場集訓隊測試的6題中，一般有1到2個難題，而你只需要每次測試拿到28分，其實就足夠了。不過話又說回來，作為一個自認為有實力的同學，如果只是通過“穩定”勉勉強強壓線進隊，其實真正到了IMO考場也很虛。所以當然要提升自己做難題的能力。

第二點，過程

在分數線附近的同學很多，但實際上，有相當一部分同學是因為過程寫的不好，7變成了6甚至5、4，與國家隊失之交臂。關于寫過程，還是有很多技巧的。

到了TST這個級別的考試，可以說在申訴之后不存在“判錯”的問題——這里的判錯指的是對錯，而不是尺度。TST的考試判卷方法接軌IMO，更加重視邏輯，對書寫要求稍輕。

關于書寫，有一種“IMO式書寫法”，在時間只有很短，但是要寫的東西很多的時候，可以采用這樣的書寫方法：用比較淺顯易懂的語言把思路的核心步驟寫出來（比如說，組合題可以不用寫的太“數學化”，可以用口語化語言寫出來），在旁邊配很多圖（難寫的很多是組合題，配圖可以大大增加直觀性），然后在每個步驟下面留出一段空白，不驗證細節。如果在補完第一層之后還有時間，就再補第二層細節……如果你的思路真的是對的，一般來說都能得到一些分數。

一般來說，這個級別的考試不太糾結筆誤，只要筆誤不是太多太嚴重影響閱讀都不會扣分。但在寫過程的最后最好讀一讀，避免出現重復字母或者把所有m都寫成n之類的情況。

關于筆誤要注意的是：如果使用了計算法解幾何題，特別是解析幾何、復數這種很可能不是標準答案又計算量非常大的方法，一定要反反復復檢查筆誤！因為如果出現了一些筆誤，到底你是算出來的還是蒙的，就很難說清楚了；一旦被發現，可能會扣比較多得分。

關于邏輯。一般來說，越簡單的題目，對邏輯的嚴謹性要求越高；如果題目本身很難，可以適當跳步。所以在寫第一題的時候，可能方法本身就沒幾行，要是一個關鍵結論不證明，當然很可能掉分；就算是掉1分，也很痛苦。這里要注意，凡是非定理的結論都最好去證明，包括一些不難證明的結論，比如OI2=R2-2Rr，調和點列的性質等等。

如果題目本身很難，比如你用了很多很多這樣的性質，也可以適當不證一些結論。當然，比較好的做法是如果最后還有時間，把沒證明的結論后面打個（*）,把證明附在解答之后。

這里不得不說到偽證和漏步驟的問題了。我自己做題的做法是在草稿紙上打草稿時把重點的結論圈起來，這樣在寫證明的時候可以按照圈找回自己之前的思路，避免“忘記之前怎么做”的悲?。ㄔ谝坏李}目做了很久的情況下時常發生），同時也不容易漏掉關鍵步驟（比如，其實只需要取f（a）=f（b）帶進某個式子就可以顯然得到函數是單射的，但是沒有寫在卷子上，后面直接用，很可能會被扣一些分）。

偽證是成為高手的絆腳石。如果你在平時或者考試中經常出現偽證，一定要引起足夠的重視——偽證一旦在重要考試中出現，就會是很可怕的事情。這里要說的是，如果在卷子上寫了很多錯誤（或者沒用）的東西，不要著急劃掉，最好做個標記，然后最后再做處理——因為你的這一部分過程很可能還是有道理的，如果做出來后發現還要重新抄一大段劃掉的東西就很虧了。

上面兩點大概是我覺得集訓隊考試最需要注意的地方。針對這兩點，在訓練的過程中一定要盡量模擬考試的時間和狀態，并且耐著性子寫過程。

集訓隊期間，往往會有很多誘惑——比如打牌，打游戲等等。我非常不建議有決心沖擊國家隊的選手沉迷于這些活動，最多考完試打打球，每個人有自己的娛樂方式，比如跑步、打球、做題等，要按照自己的節奏來，不要被本來不認真考試的同學帶壞了。

最后講講集訓隊里的體力和心態調節。

集訓隊考試，是整個學術活動生涯里持續時間最長，也最壓抑的考試?？梢哉f集訓隊考試要褪一層皮是毫不夸張的（如果有第二輪的話就兩層……）。集訓隊考試既是數學水平的較量，也是心態和體力的較量。

一般來說，集訓隊考試進行到一半左右肯定會越來越疲憊，很可能狀態逐漸下滑?！耙还淖鳉猓俣?，三而竭”，這樣的情況是正常的，所以要注意睡眠，保持規律的作息，多鍛煉身體，保持充沛的精力。如果覺得講座太多的話，可以放棄一些講座（其實很多講座的主要受眾是旁聽生啦）。當然，我建議每天上午準時起床，認真做題，下午和晚上可以適當放松，這樣更容易保持考試狀態。

關于集訓隊考試期間的心態，則比冬令營的兩場考試要復雜得多，也更考驗逆境一下抗壓的能力。

歷史上，波瀾壯闊的大翻盤常有。在最后一場考試之前永不放棄，不僅是一句口號，更是一種信念。事實上，在最后的大考結束之前，一切都是未知數。

事實上心態的調整不僅僅局限于集訓隊測試中，也同樣存在于日常生活中。能在人生的低谷里不驕不躁，頂住壓力，臥薪嘗膽，最終走出黑暗，也是人生中重要的能力。

心態主要分兩部分：

之前考的較好的人，盡管知道自己有領先優勢，也要不驕不躁，一定不要在考試中計算分數！就算是最后一場考試有很大優勢，也要全力以赴，絕不能掉以輕心一一那些沒改出來的考試的分數都是未知的，不能想當然的認為自己進隊了就不努力了；再說了，進隊也有排名的嘛。

如果之前的發揮差強人意，一定不要給自己立flag。不要想著“要是拿不到3題我就進不了國家隊了”。題目的難度不可預測，說不定題目很難，其他人全都0分，你做出1題就進國家隊了呢？又或者，你之前估分為0的題目其實有4分，別人估分7的題目其實只有3分，這樣算下來你的成績并不算差。題目對每個人都是公平的，你覺得難，其他人肯定也覺得難。而萬一因為自己心理要求太高導致考試心態失衡，痛失好局，就后悔莫及了。

總之，還是那句話，把每場考試當成第一場考試，把所有對手當成自己，只要發揮出自己的水平，盡全力了，就算是沒進也沒有關系。再說了，要是盡全力還是沒法進入國家隊，那去IMO考試也只會壓力更大嘛。

Part3關于具體的備考

下面這些內容主要針對自學，如果你有一個會精心安排你的備考計劃的學術活動教練，下面的這些內容僅供參考，主要還是要跟著教練的思路走。關于培訓，在這里我不作推薦，但是個人覺得如果可以的話最好還是要參加一些培訓，了解一下最新的題目和方法。

一、書和題

以下講的這些都是我自己聽過或者做過的書和題目，應該大部分都可以在網上找到pdf版本，也算是打廣告啦）當然，沒有提到的書和題很可能是沒有做過的。不敢枉加評價。一般來說，剛剛接觸學術活動的新人都需要一套系統全面的入門書籍，比如：《奧賽經典》、《奧數教程》、《小叢書》等。對于這些書，如果可以的話當然是選一套書慢慢啃，但其實幾乎沒有人能夠有毅力地踏踏實實做完一套這樣的“大部頭”......所以你可以先不這么“踏實”地先了解一下做題的方法，然后做一些題，不一定要做完所有習題。

在剛開始接觸新的領域的時候可以直接看例題的答案，但是最好每個題都要經過一段時間的思考，至少也應該知道自己沒有突破的地方在哪——那就是你能學到的新東西。要學會舉一反三，這樣很快就能掌握很多方法。

關于聯賽的模擬題，除了學校教練的題目，我只做過《中等數學》的模擬題（包括非增刊和增刊）。當然，模擬題的難度總歸與真正聯賽可能會有差距，所以如果有些套題做下來點思路都沒有，很可能是題目確實難。不必太在意；但是如果是自己算錯的很多，就要找原因了。事實上，我自己的體會是，增刊模擬題一試平均分與真實聯賽的成績差距不會很大?？赡苣M會稍難一些，但是真正考聯賽的時候會比較緊張，也有可能會出現低級失誤。

在稍稍進步一些之后，實際上你己經可以做出一部分聯賽二試難度的題目了，但是穩定性卻不能保證。這個時候，比較重要的是補充短板?？梢钥粗蟮木唧w分支中的書。

CMO的書籍，關于備戰二試較難的題目和CMO以上級別的考試，我強烈推薦單蹲的《數學學術活動研究教程》。盡管這本書不長，但其中很多章節里的思想很關鍵。盡管現在新的方法很多，很多很難的題目卻恰恰用的是老的方法。我覺得這本書是值得從頭到尾扎實地把所有題做一遍的。

《命題人講座》系列是一套補短板的好書，但也有不足一一部分書的部分章節太偏太難，可能更像是科普而非針對學術活動。我自己看過的書大概在之后寫了，其他的書就沒怎么看過了。

一些流行的期刊，比如《中等數學》等，可能會載有一些最新的題目和方法。我推薦大家在看書了解傳統的方法的同時，最好也要了解最新的題目與新興的方法。

之前說到過兩套所有人都要做的題目：《走向IMO》和IMO預選題。這兩套題目都非常好，在準備CMO和TST時都可以做。IMO預選題大致按照難度排序，并且題目本身大都很優美。（當然，其中有些題目可能作為學術活動題確實過難了一些......）

當然，題目看似雖少，如果給足時間做這些題目，實際上也需要不少時間。從IMO官網（www.imo-official.org）的problems里可以找到近年的IMO預選題（IMOshortlist）與多種語言的IMO真題。當然，你也可以從官網里找到歷年考試的成績與選手的資料（包括照片哦），在做IMO題目的時候可以以此為參考。

二、專題

下面按照代數、幾何、數論、組合的順序給出一些具體的建議。

1.代數

主要的題型有多項式，復數，數列，不等式，函數方程。關于代數，個人認為學一些數學分析和高等代數對代數感會有提高——有些題目會用到分析或者代數的思想，未來的題目也很有可能向著這個方向發展，所以有時間的話推薦大家學一些。系統講多項式和復數的書其實不多，《數學學術活動研究教程》里有講到一些。但我對復數和多項式的了解主要還是來自于題目。有一些特殊的多項式，比如Chebyshev多項式，還是要了解的。多項式另一個考點是多項式的數論性質，比如Hensel引理等，也要了解。

數列，要熟悉各種各樣的換元法和求通項公式的方法，能求出通項公式的數列往往可以通過通項公式大幅簡化問題。數列的另一種考法是與數論結合。比如像Fibonacci數列這樣的二階線性遞推數列有很好的數論性質，要專門研究。

不等式是一個大坑，種類繁多，套路復雜。拿到一個不等式，第一件事一定是猜取等，通過取等確定最基礎的方向一般來說，取等都是比較容易猜出的。比如若干取0若干相同；但是也有例外，比如不對稱的不等式和一些算常數的不等式。遇到不確定取等條件的不等式，最好先觀察有沒有簡化的方法：比如可以通過調整，讓最小者是0；對局部求導，得到一些要滿足的性質等等。

三元對稱不等式有一個很厲害的方法，就是配齊次，通分，展開，然后利用Schur不等式和Murihead定理一點一點消去一些項（當然還有直接把一些平方展開可以得到的“自制”不等式），最后把它拆成若干個非負的東西之和就可以了。（一般來說，不等式都不會太強，一點一點來總能可以做出來的）當然，現在考的三元對稱不等式越來越少了，一般也不會讓你可以這么暴力的解出，比如給一個很不友善的條件之類的（如a2+b2+c2=1讓你配不了齊次）遇到這種情況還是老老實實用傳統的不等式方法（均值，柯西等）做吧。

切割線法和局部不等式是解決問題的獨門秘籍。如果遇到簡單放縮無法奏效的情況，可以試著自己構造，一個這樣的局部。

如果不等式中變元是分離的，可以考慮用karamata不等式和Jensen不等式，驗證一下凸性，說不定就做完了或者大幅簡化問題。

調整法很笨，但是有的時候卻能奏效。但是調整法要注意：如果要使用無限次的平均調整，一定要說明調整是作用在緊集上的，從而最小值點存在。另外，不是所有題都可以輕易地調整出來。如果調整法計算量不小的話，試試其他方法吧。

函數方程，是一個中國考察得比較少的方向，但是在IMO預選題代數里往往占據“半壁江山”。個人覺得函數方程是代數里很難提高的部分，不同題目的處理方法也不太有共通性。雖說本質上就是不斷代入。但也有一些技巧，比如尋找函數方程的單調、單射滿射等性質；考察函數的值域，或者取函數的等于目標函數的點的集合，刻畫集合的性質以證明是全集：適當給出變元間的關系使得等號兩邊部分項相等而消去；把較復雜的復合函數帶入，結合之前的結論變形消元等等。

代數歷來是中國的傳統強項與國內學術活動中的一大考察重點。不過相對而言，代數對基本功要求較高，通過訓練會有較大提高。

2.幾何

幾何與其他方向不同，有多種本質不同的處理手段，最關鍵的是掌握多種手段解題——純幾何（包括幾何變換），三角，復數，重心坐標系，解析幾何。這里我不討論比較“奇怪”的幾何題，比如幾何不等式或者立體幾何。當然主要原因是考得不多，我自己也沒有學過......純幾何法，簡單來說就是幾何的傳統方法一般標準答案一定會至少給出一個這樣的純幾何法，所以普適性最強。

關于純幾何，最權威的書或許是《近代歐氏幾何學》。這本書里記錄了很多很有趣的性質，但是對具體處理幾何題似乎幫助不大......不過有向角和有向線段的書寫在這本書里有，可以練習一下；另外，這本書里面講了很多關于反演的性質，如果你不熟悉反演變換，把這本書里面的性質證一遍會熟悉很多。

反演是處理幾何題的常用手段，一般來說，在拿道題目之后都要檢測一下能不能通過反演大幅簡化問題。這是一個處理很多幾何問題的捷徑，必須要學會，也不算很難。

調和點列的性質很多，也有很多很“套路”的題目可以用調和和配極做。關于這個，我印象里《中等數學》有一篇關于調和的文章講的比較詳細。

幾何的定理和構型要熟悉。比如偽內切圓，三角形五心的關系，Miquel點，帕斯卡定理、笛沙格定理等等。很多幾何題是基于這些構型的，如果不熟悉的話非常吃虧。

純幾何大概能講的就這么多，最后要記?。喝绻霾怀鰜?，請畫一個標準圖，找相似、共線、共圓。大智若愚，往往做不出題的原因是你對這個圖形的結構了解的還不夠深，只需猜到一些結論或許很快就能得到突破。

三角，是簡單幾何構圖中計算起來最快的方法，也是覆蓋面最廣的方法，所以聯賽幾何經?？梢杂萌亲?。三角法的技術含量其實不算很高，大概就是把角寫出來（這里可能要用角元梅、賽），然后用正弦、余弦定理表示邊，最后算出對應的性質。需要注意的是：和差化積、積化和差等三角變形公式必須非常熟悉。并且在處理具體問題的時候，一般來說乘比加的形式更漂亮，因為更容易消掉一些東西，所以在表示邊的時候盡可能少用余弦定理，余弦定理一般是最后帶入算。

另外，三角法有時要配合同一法。有時候一個角看似不好求，實際上就是已有角的線性表示，帶入之后一下就做出來了。所以在三角法陷入僵局的時候可以考慮帶入特殊角。

復數法。復數法其實適用范圍并不廣泛，但是有的題目用復數會遠簡單——復數是做幾何題的獨門兵器。復數法一般來說只能適用于圓比較少的情況：因為給定3點求圓心坐標很困難。一般來說，原點取一個圓的圓心，并把這個圓取成單位圓，這樣可以認為圓上的點有zbar{z}=1。相似三角形用復數比較容易表示，但解兩條直線的交點比較困難。在計算的過程中，盡量把所有點都用單位圓上的復數表示，這樣取共扼只需要把里面所有單位圓上的復數z分別換成1/z即可。

在用復數法解題之前要先判斷一下計算的復雜度。一般來說，表示起來復雜的點不能太多，否則計算量會指數級增加。

重心坐標系我不會，但似乎也有其用武之地，有興趣的同學可以自己了解。

解析幾何法。這是一種很暴力的方法，適用范圍最差，計算量最大。我幾乎沒見過有人可以用解析幾何做出CMO以上難度的題，就算有，用三角也可以比較快的做出來。當然，有的題目用曲線系等“高級”解析幾何方法可以迅速做出，可以參考單增《解析幾何的技巧》。

處理一道幾何體，一般要先畫一個比較標準的圖，然后觀察是否有好的性質，估測各種計算法的復雜度，然后選擇一種方法做下去。特別要注意的是，在CMO與之后的考試中，如果點線之問的位置關系不確定。最好使用有向角與有向線段或者分情況討論（盡管一般是本質相同的）；特別的，在每個交點取出之前，一定要先詢問自己“是否有交點”，避免因為這樣的平凡情況被扣分。

中國國內的考試對幾何的要求不算高，并且很多幾何題可以用“算”的方法解出，所以高手做幾何題往往更偏重計算法。（有一定原因是中國選手代數基本功較好）計算法的優勢在于熟練之后所需時間比較穩定。不容易卡殼。不過，IMO中較難的幾何題中有不少通過計算法很難解出，中國隊就普遍做的不好。所以我更推薦大家在學習幾何的時候計算、純幾何方法都要熟練，運用“綜合法”解題，這樣才更容易穩定發揮。

3.數論

數論題目主要分成3類：傳統型數論、估計型數論、結合型數論。傳統類的數論主要用同余，階與原根，Pell方程，二次剩余來處理。我自己看的是潘承彪和潘承洞的《初等數論》的前面一部分章節，其實己經足夠了。稍高級的技巧，比如關于素數分布、連分數的結論，其實也可以學學，在有些題目里會有幫助。傳統類的數論中國人比較擅長。這一類的數論套路有限，多做一些題就可以了。另外，命題人講座里的《初等數論》也不錯，題目難度適中。不過這一類題目出現的頻率與難度目前在逐漸下降。

LTE引理很有用，算是一個“黑科技”，一定要熟練掌握。關于n!里素數的指數以及組合數里的數論性質也要熟。

估計型數論是最近出現的比較新穎的題目，一般是對一些量算兩次比如：Bertrand-Chebyshev定理和有關素數分布的結論的證明。在我的印象里，估計方法在處理square-free的時候很好用，但很多估計類題目其實并不算明顯——很多題目使用估計的想法出其不意，要是沒有往這方面想，就很難做出了。同時需要記住一些關于素數的結論，比如素數倒數和發散等等。

結合型數論，其實近年考的也不少，主要是與組合或者代數結合。(IMO2016T3連幾何都結合了起來，很有趣）

與代數結合的數論有整值數列，數論函數方程，整系數、整值多項式等。這一類題目有自己獨特的處理方法，要專門尋找并練習。

與組合結合的數論題不少。這一類題目實際是“披著數論皮的組合”，在處理中常使用用抽屜原理、構造法等方法來解決。中國剩余定理往往在其中扮演了重要角色。

另外，還有一種整體思考類型的數論題目，最典型的題目是：“在2n-1個整數中總可以取出其中n個數，其和為n的倍數”(Erdos-Ginzburg-Ziv定理）。第一次見到這種方法肯定會覺得不可思議，但這種方法其實是證明存在性的一種較常見的手段。

綜合型數論近年來在數論題目中出現的比例越來越高。事實上，跨分支出題是近年來的命題趨勢。所以要提升自己的知識的綜合運用能力。

4.組合

組合，大概就是前面三個分支的補集吧。做過IMO預選題的同學都知道組合的厲害——組合是四個分支中平均難度最高的分支，方法紛繁復雜，不易分專題訓練：有人笑稱一些組合題是“小學奧數”，其實有一定道理——很多組合題并不需要很多前置知識，答案也只有寥寥數行，卻有很高的本質難度。所以組合題的訓練是四個分支中最困難的，做組合題很依賴大腦中的“靈光一現”。當然，也正因為做組合題的方法較多，如果嘗試某種方法久而未果，最好嘗試新的方法，很可能會有收獲。關于組合，我大概能想到的專題有圖論，集合，組合幾何，組合恒等式，母函數以及其他雜題。圖論，個人覺得Bondy，和murty的《GraphTheorywithApplications》是不錯的教材，這里面己經有足夠應付學術活動的性質和定理了：命題人里的《圖論》也不錯。當然，只看這樣的書并不能熟悉真正的題目，我強烈推薦大家找本俄羅斯數學奧林匹克（RMO）的書來，找到里面所有的圖論題來做。

關于集合的問題出現的很多，但是方法其實與其他組合題差不多，有一些可以用圖論里的方法。如Hall定理：另外一些題目可以用歸納法或者極端原理。集合里也有一些值得注意的定理，比如Sperner定理，有很多不同的證明，最好都要了解（因為有很多題目可以用類似定理某種證明的方法做出）。

組合幾何，命題人講座的那本還不錯，但我也只是翻過。組合幾何類型也很多，包括棋盤問題和格點問題，主要還是需要做大量的題目來熟悉學術活動題在考什么。

組合恒等式其實更多的時候主要采用代數或者數論的方法解決，只有少數組合恒等式可以用“組合”來解決。推薦（研究教程》里組合恒等式和母函數的章節。

母函數，有一本很不錯的講母函數的書，是Graham，Knuth，Patashnik寫的《ConcreteMathematics》。其中講特殊數列，母函數和母函數的應用的部分非常詳細，但缺點是比較長。當然如果沒有這么多時問，單蹲的《母函數》也不錯。

其他題就歸結為雜題了。雜題類型很多，沒有什么固定的方法，只能多做題尋找其中的規律。

特別的，我要提一下代數方法（比如線性代數法，組合零點定理等）以及概率方法。這些“新穎”的方法容易被忽視，但卻有其用武之地，有興趣的同學可以自己研究一下。(tips：在AOPS上找IMO2012T3和IMO2014T6，有驚喜）

關于組合題，我強烈推薦RMO的題目。RMO里的組合題都非常好，不算很難，但是用到了很多方法。RMO的題目一般偏重幾何和組合，代數和數論會相對簡單一些。除了RMO，莫斯科數學學術活動，圣彼得堡數學學術活動，全蘇奧林匹克學術活動等學術活動題目風格類似，也非常優秀。

Part4總結和感謝

如果大家認真地看完了之前寫的一切，可能會有些迷茫，也可能有點暈。不過沒事，其中的很多東西可能暫時不會用到，可以之后再看。由于筆者水平有限，文章的邏輯有些混亂。內容也只是“填鴨式”地把我能想到的東西都寫了出來：但其中，每一行字都是筆者的經驗之談。很多簡短的話語中飽含了血的教訓！希望大家能盡可能地理解我想表達的意思，在學術活動路上找到屬于自己的天空。

最后，感謝一路陪伴的同學、老師一是你們的存在讓我的學術活動之路如此豐富多彩；特別感謝2017年中國國家隊教練組老師們的辛勤付出，老師們辛苦了！