足球比賽中的數學問題（附SAT2數學培訓介紹）

我叫楊婷，出生在陜西一個小地方，盡管教育資源很不發達，我還是憑借對數學的熱愛以高考數學滿分的成績考上北京大學。畢業后，自然而然的，我成為一名數學教育從業者，職業生涯的第一站選擇了深圳學而思。

經過多年的教育經驗，我發現教數學最重要的是讓學生愛上它。愛上數學，就相當于愛上了全世界，——因為數學無處不在。數學是觀察，它幫助我們發現隱秘在物質世界之中的真理和邏輯。數學是推理，它幫助我們捕捉事物活動的內在規律。數學是想象力，它幫助我們另辟蹊徑的解決難題。數學是快樂，它讓我們在抽象的思考和寫寫算算畫畫之后情不自禁的大喊：“我知道了！”

所以，我授課的目的是為了讓更多人喜歡上數學，了解到自己有多聰明，從巧妙的數學題中發現快樂，保持大腦積極清醒的運轉。

我不僅在講臺上講課，還編寫過數學教材，分析一些國內外數學考試的特點。研究數學教學的方方面面而不僅僅是在講臺上輸出，是因為我想找到一種具有普遍性的能夠令學生愛上數學的教育方法，同時它又必須是有效的，能夠提高學生成績的。經過我的跟蹤調研，我發現：97%的學生在上我的課之后更加喜歡數學，95%的學生在上我的課之后表示提升了邏輯思考能力，78%的學生希望在大學階段選擇數學或相關專業。

我之前說數學無處不在，那么就從世界杯說起吧。

世界杯的賽制是小組單循環賽+淘汰賽，這里面就包含了經典的數學問題，例如：小組賽一共有多少場？淘汰賽一共有多少場？這些問題即使是鐵桿球迷一時也回答不出來。在這里，我會教你怎么用簡單的方法計算比賽場次。

單循環賽總場次的算法：

單循環賽是指任意一支球隊都跟其他所有的對手輪流交鋒。首先說的是一個較為麻煩的算法，我們管它叫握手法，假設一共有N支球隊，總共需要（N-1）+（N-2）...一直加到1（場比賽）。例如世界杯每個小組一共有4支球隊，他們總共的比賽場數就是3+2+1=6。

但是這種方法如果隊數少還好說，隊數多就不好用了。我這里有一個通式：假如一共有N支球隊，總共需要（N-1）*N/2 場比賽。例如世界杯每個小組有4支球隊，每個組的比賽總場數就是（4-1）*4/2=6。

這樣我們第一個問題的答案就解出來了。世界杯小組賽一共有多少場？八個小組，每個小組要打6場，這樣小組賽就總共有48場。

雙循環賽總場次的算法：

單循環賽會算了，雙循環賽就更簡單了。我們都知道南美洲有10支國家隊，他們要通過主客場雙循環賽制打世界杯預選賽，前四名直接進入世界杯正賽。那么南美區預選賽的總場次是多少呢？

只需要（球隊數-1）*球隊數就可以了。那么南美預選賽就一共有90場。

淘汰賽總場次的算法：

淘汰賽制，英文knockout，指的是球隊捉對廝殺，負者出局，直到剩下最后兩支球隊爭奪冠軍。許多偽球迷都問過這樣一個問題：平局之后要進行點球大戰嗎？他們的朋友總會不厭其煩的解釋：小組賽階段不需要點球大戰，淘汰賽階段才需要。為什么，因為淘汰賽必須要分出勝負，所以才衍生出點球大戰這個看上去很公平的規則。

那么世界杯淘汰賽總共要打多少場呢？淘汰賽的算法很簡單，參加的球隊數-1就可以了。由于世界杯有三四名決賽這樣的特殊規則，所以世界杯淘汰賽的總場次就是16-1+1=16場。

進階題目——猜戰況：

世界杯小組賽階段，許多粉絲眾多的傳統強隊沒有獲勝，球迷們開始通過計算每支球隊的分數來判斷他們出線或出局的可能性。

假設德國隊的小組中，墨西哥、瑞典、韓國最終分別得到4分，3分，1分，那么德國隊最多得幾分，最少得幾分呢？

我們知道小組賽贏球得3分，平局1分，輸球0分，想要德國隊分數最多，在其它球隊分數已經確定的情況下，就要總分最多；想要總分最多就要減少平局，因為平局兩隊共得2分，而分勝負兩隊共得3分，所以瑞典隊的3分是通過一場勝利得到的而不是三場平局得到的，德國隊得分才最高。

因此瑞典1勝2負，韓國1平2負，墨西哥1勝1平1負，因為循環賽中贏球的場次和輸球的場次一樣多（這是韓喬生老師的發現），所以5負-2勝=3勝。德國隊最多可以獲得9分，小組全勝！

若想要德國隊獲得最低分，則瑞典隊的3分就是通過3場平局得到的。那么韓國的1分來自跟瑞典的平局，它輸給了墨西哥和德國。墨西哥的4分來自贏韓國平瑞典，它只能輸給德國。所以德國最低分是7分，具體是贏墨西哥韓國，平瑞典。

怎么樣？是不是很有趣？數學用來解決實際問題的時候，它往往不需要復雜抽象的公式，而是需要正確的思路和巧妙的算法。例如說，古人在沒有小數概念和計算器的情況下，仍然能得到圓周率的近似值，那是因為他們運用了割圓術的方法，這個方法在數學界由我們中國人保持領先了1000年。

所以數學能夠教會你的，不是計算能力，而是面對實際問題尋求最優解的能力。

對于足球當中的數學問題，有的朋友可能會覺得上面列舉的還不過癮，那么我再來出兩道跟之前完全不同的，用作讀完后的練習。

1.??????一場友誼賽中，德國與阿根廷踢成4：4，德國從未落后，請問這場比賽一共有多少種進球排列？

2.??????一場友誼賽中，德國對阿根廷兩隊一共進了8個球，德國從未落后，請問這場比賽一共有多少種進球排列？

今年我研究了SAT2的數學考試，編寫了全知識點摸底測試題，由易到難，以此來判斷學生對這些知識點的掌握程度，給予他們個性化的輔導，查漏補缺，提高學習效率。當然，從頭到尾完整的教也是沒問題的。

今年下半年，我準備研究美國數學學術活動AMC10，據我做留學顧問的丈夫說，有若干名校在申請的時候要求學生填寫AMC的分數，所以看起來用AMC作為判斷學生數學能力的輔助工具已經成為趨勢，大學的申請競爭愈加激烈，衡量學生的標準也愈加多元化，我們必須迅速自我調整，提升自己的競爭力。