怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)效率會(huì)更高？

小學(xué)、中學(xué)甚至到大學(xué)，都得學(xué)數(shù)學(xué)。為什么要學(xué)這么多數(shù)學(xué)呢? 伽利略說(shuō)：“大自然，這部偉大的書(shū)，是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)成的。”前美國(guó)總統(tǒng)科學(xué)顧問(wèn)艾德華·大衛(wèi)說(shuō)：“很少人認(rèn)識(shí)到當(dāng)今如此被廣泛稱頌的高技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)?！睌?shù)學(xué)是科學(xué)之母，是物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)的基礎(chǔ)，為其提供了描述規(guī)律的語(yǔ)言和探索未知世界的工具。

數(shù)學(xué)如此重要，怎樣才能更高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？像數(shù)學(xué)家那樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)才是更高效的學(xué)習(xí)思維和方法。

一、數(shù)學(xué)家究竟是如何思考的？

菲爾茲獎(jiǎng)得主Atiyah：“我們欣賞數(shù)學(xué)之美動(dòng)用到的大腦部分與欣賞音樂(lè)、藝術(shù)和詩(shī)歌時(shí)動(dòng)用的大腦部分完全一樣。這是個(gè)大發(fā)現(xiàn)”。數(shù)學(xué)家的思考方法到底是怎樣的？他們質(zhì)疑一切；反過(guò)來(lái)又如何；利用逆否；考慮極端情形；構(gòu)造自己的例子；假設(shè)用在哪里；從復(fù)雜的一邊開(kāi)始；如果有……，那么會(huì)怎樣；交流等。

在學(xué)校教育中，老師是如何引導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？老師受教育進(jìn)度和教學(xué)計(jì)劃約束，往往忽略數(shù)學(xué)中最美的知識(shí)。數(shù)學(xué)中最美的往往是最基本的，最基本的往往不會(huì)在考試中出現(xiàn)。為了實(shí)施教學(xué)計(jì)劃，老師們往往會(huì)對(duì)這些最美的知識(shí)一筆帶過(guò)，很少能認(rèn)真領(lǐng)著孩子欣賞這些美的知識(shí)。天真爛漫的孩子能夠在私下的生活中能慢慢琢磨和感受這些美的數(shù)學(xué)知識(shí)的人，是少之又少的。名校往往把這些任務(wù)壓給孩子們，悟性高的往往勉強(qiáng)應(yīng)付，悟性低的遺害終生。另外，如今的孩子們，都是忙碌的孩子，家長(zhǎng)早已把孩子們的時(shí)間安排的滿滿的，哪有時(shí)間琢磨、欣賞和感受這些美的數(shù)學(xué)知識(shí)。

培訓(xùn)機(jī)構(gòu)模式：例題講解—習(xí)題套。這種模式在降低數(shù)學(xué)題目難度的同時(shí)，剝奪了孩子自己思考和探索的機(jī)會(huì)。聰明孩子在此教育模式之下，很快能獲得理想成績(jī)；普通孩子將會(huì)消耗掉自己的興趣和動(dòng)力。一旦孩子沒(méi)有興趣和動(dòng)力是非常危險(xiǎn)的事情，像現(xiàn)實(shí)生活中，有些孩子雖然獲得奧數(shù)獎(jiǎng)牌并成功保送到理想大學(xué)，但最終甚至沒(méi)能順利拿到學(xué)位進(jìn)而被勸退。

堅(jiān)持學(xué)數(shù)學(xué)的孩子，靠其內(nèi)心的標(biāo)準(zhǔn)，也靠他們?cè)跀?shù)學(xué)直覺(jué)上的微小收獲所帶來(lái)的巨大喜悅。

培育和激發(fā)孩子的探索精神，是教育中的重要任務(wù)。探索精神是數(shù)學(xué)家以及其他科學(xué)家所具備的重要精神。美國(guó)和俄羅斯在探索性教學(xué)方面積累了豐富的成功經(jīng)驗(yàn)，培育了大量的著名數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。探索性教學(xué)有兩種道路：一是之字形，爬起來(lái)不累，適合游客和大部隊(duì)；二是攀巖，爬行者會(huì)覺(jué)得累而快。下面舉靖學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的一個(gè)例子：

如圖，O為三角形ABC中的一個(gè)點(diǎn)。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊于D、E、F。設(shè)線段OA、OB、OC的長(zhǎng)度分別是x、y、z，線段OD、OE、OF的長(zhǎng)度分別是p、q、r，那么埃爾德什-莫德?tīng)柌坏仁綖椋?/p>

這個(gè)題目是高中學(xué)術(shù)活動(dòng)數(shù)學(xué)課本《數(shù)學(xué)（高中上冊(cè)）》（華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)（實(shí)驗(yàn)班用））第五章的內(nèi)容。靖第一次拿起這本書(shū)時(shí)，前面的內(nèi)容都沒(méi)學(xué)習(xí)過(guò)，隨意翻到這一頁(yè)，就被這道題目給迷住了。

第一次看這道題目時(shí)，靖很平靜地告訴我，他看不懂解題過(guò)程。我說(shuō)：“看不懂就看不懂，沒(méi)關(guān)系，前面鋪墊的很多知識(shí)你都沒(méi)學(xué)，怎么可能能看懂呢？很多符號(hào)你都不認(rèn)識(shí)?！?/p>

過(guò)了幾天，靖第二次禁不住又找到這本書(shū)，又翻到這道題目，又看了一遍，很平靜地告訴我，他沒(méi)看懂解題過(guò)程。我答：“看不懂，沒(méi)關(guān)系，以后再想辦法。”放下書(shū)出去玩玩吧！我以為靖早已忘了這道題目。

又過(guò)了幾天，靖第三次翻到這個(gè)題目，他看懂了，而且很激動(dòng)很熱情地告訴我：“這道題目我看懂了?！蔽乙荒樞θ莸卣f(shuō)：“給我講講。”結(jié)果，靖就給我先做了知識(shí)鋪墊，把所有可能用到的定理和知識(shí)先給我講了一遍，然后才講這道題目的證明過(guò)程。

又過(guò)了幾天，靖第四次告訴我：“他已經(jīng)會(huì)用至少五種方法證明這道題目。”

靖這個(gè)題目的學(xué)習(xí)過(guò)程，就是典型的探索性學(xué)習(xí)過(guò)程。他走的路徑是攀巖式路徑。

像數(shù)學(xué)家那樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)：學(xué)習(xí)教材時(shí)，自己先思考例題，如果不會(huì)再看例題講解；如果題目的結(jié)論變成條件，條件變成結(jié)論，會(huì)怎樣；改編題目，自己出題，也是一種很好的思路。這種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思路會(huì)讓孩子有更強(qiáng)大的動(dòng)力和興趣去探索，持續(xù)維護(hù)孩子的興趣，提升學(xué)習(xí)效率。

以靖為例，靖在幼升小那個(gè)暑假，花了大約10天的時(shí)間，完全像個(gè)小數(shù)學(xué)家那樣，無(wú)論是出去玩還是洗腳或洗臉，一直在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，他是不是平跑過(guò)來(lái)向我確認(rèn)他思考的結(jié)果的正確性，然后滿意地離開(kāi)。

例1：2+2+2+2+2+2=？這也是6個(gè)2相乘呀！說(shuō)明12里有6個(gè)2。在此，我明白了整數(shù)的加減乘除運(yùn)算規(guī)則。

例2：4x25=100，8x12.5=100，16x6.25=100，這三個(gè)算式就是一個(gè)乘數(shù)除以2，一個(gè)乘數(shù)乘以2，結(jié)果應(yīng)該不變。在此，我明白了小數(shù)如何進(jìn)行乘除運(yùn)算。

 

二、如何刷題效率會(huì)更高

刷題的目的是用最短的時(shí)間讀懂題目和問(wèn)題，并理清思路，短時(shí)間接觸大量題型的各種方法。具體方法：將答案放在一邊，讀題圈數(shù)字單位和要點(diǎn)，在第一直覺(jué)中給出解題思路。然后對(duì)照答案，如果完全一樣，直接跳過(guò)。如果不一樣，對(duì)比答案，尋找差異，思考答案的方法好在哪里。最后合上答案在腦子里解一遍題。

第一種刷題：計(jì)時(shí)練習(xí)，常年堅(jiān)持。把積攢下來(lái)的經(jīng)典題目湊成一張卷子做，這種方法的要義在于常年堅(jiān)持，不在于某次刷題的多少。

第二種刷題：刷錯(cuò)題本，重視數(shù)學(xué)難題的消化。針對(duì)那些不會(huì)做的題，看了答案，沒(méi)有很好掌握的題。這種題目，需要刷好幾遍，才能真正搞會(huì)。此種方法的要義在于：堅(jiān)持，堅(jiān)持，再堅(jiān)持。

第三種刷題：小組訓(xùn)練法，提升悟性。兩三個(gè)人一伙，互相給對(duì)方當(dāng)教練，將大家不會(huì)的題，分為三組，每組題由一個(gè)人負(fù)責(zé)看答案，來(lái)當(dāng)其他兩人的教練，允許提問(wèn)，教練給予提示，靠這個(gè)過(guò)程把題做出來(lái)。

刷題的導(dǎo)出效果：學(xué)生可以將難題放在腦子里翻來(lái)覆去地想，突然有了靈感，也算是內(nèi)在的隨機(jī)性的自我獎(jiǎng)勵(lì)。難題相對(duì)個(gè)人能力不同而不同。通過(guò)第一遍刷題，找出難題，再集中精力二刷或三刷難題，悟性和能力必將會(huì)有大幅度提升。

 

三、怎樣刷題才能刷出“數(shù)覺(jué)”？

日本菲爾茲獎(jiǎng)得主小平邦彥，創(chuàng)造了數(shù)覺(jué)（NumberSense）這個(gè)名詞。他提出：了解數(shù)學(xué)是看出數(shù)學(xué)的現(xiàn)象來(lái)，這種“看”是憑某種感覺(jué)來(lái)意會(huì)的，有數(shù)覺(jué)的人念起數(shù)學(xué)來(lái)就得心應(yīng)手得多?！皵?shù)覺(jué)”已被寫(xiě)入西方國(guó)家的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，開(kāi)始被心理學(xué)家研究。

數(shù)覺(jué)不能簡(jiǎn)單地理解為對(duì)數(shù)學(xué)的感覺(jué)，是人們?cè)趯?shí)踐經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，形成和發(fā)展起來(lái)的一種認(rèn)識(shí)能力，是持久探索和思考的結(jié)果，而不是憑空想象的結(jié)果。數(shù)覺(jué)是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的某種直接領(lǐng)悟或洞察。數(shù)覺(jué)具有突發(fā)性、直接性、創(chuàng)造性和或然性特征。

突發(fā)性：數(shù)覺(jué)往往受視覺(jué)觸發(fā)，突然地領(lǐng)悟道理，做出判斷，得出結(jié)論。直接性：在直覺(jué)思維中，數(shù)學(xué)是一種邏輯的跳躍，通常不作詳盡的分析和推理，直接接觸結(jié)果，因而具有直接性。創(chuàng)造性：數(shù)覺(jué)思維的結(jié)果通常會(huì)表現(xiàn)出新的突破，得到新的結(jié)論，因此帶有極強(qiáng)的創(chuàng)造性?；蛉恍裕簲?shù)覺(jué)是一種邏輯的跳躍，沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯思考與推理，因此其所得的結(jié)論未必正確，具有或然性。

數(shù)覺(jué)涉及更多非理性因素，即理性之外的認(rèn)識(shí)、意識(shí)、心理因素。數(shù)覺(jué)的培養(yǎng)應(yīng)重在基于孩子已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)孩子經(jīng)常做實(shí)驗(yàn)性數(shù)學(xué)作業(yè)，給孩子創(chuàng)造探索與思考的機(jī)會(huì)，加強(qiáng)孩子合情推理等能力的培養(yǎng)。

1. 在平時(shí)生活中，創(chuàng)設(shè)生活數(shù)學(xué)情境，激發(fā)孩子研究數(shù)學(xué)的興趣，誘發(fā)孩子的直覺(jué)思維，促進(jìn)自覺(jué)探究。例如，靖大概5歲時(shí)，爸爸隨便編了一個(gè)題目。

我們一家去飯店吃餃子，要了兩盤總計(jì)48個(gè)，花費(fèi)同樣的時(shí)間，爸爸吃3個(gè)餃子，媽媽吃2個(gè)餃子，靖靖吃1個(gè)餃子，問(wèn)最后，爸爸、媽媽和靖靖分別吃了多少個(gè)餃子？

靖靖很快答說(shuō)：靖靖吃了8個(gè)，媽媽吃了16個(gè)，爸爸吃了24個(gè)餃子。

2. 在平時(shí)生活中，適當(dāng)加大數(shù)學(xué)知識(shí)難度和滲透科學(xué)認(rèn)識(shí)的引導(dǎo)，重視孩子對(duì)科學(xué)方法、科學(xué)價(jià)值的掌握和理解，加強(qiáng)孩子整理知識(shí)和重組知識(shí)能力。

例如，如圖，半徑為5厘米的圓內(nèi)和圓外各有一個(gè)正方形，圓內(nèi)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，圓外正方形的四條邊和圓都只有一個(gè)接觸點(diǎn)。問(wèn)大正方形的面積比小正方形的面積大多少？

孩子如果受到知識(shí)的限制，無(wú)法用分別求出大小正方形的邊長(zhǎng)，在求出面積，最后求出它們的差這種思路。由于圓、正方形都是中心對(duì)稱圖形，圓內(nèi)接小正方形可以旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到特殊位置就能發(fā)現(xiàn)圖形間的大小關(guān)系（如圖）。顯然，小正方形的面積是大正方形面積的一半。

 

這種引導(dǎo)，有利于孩子探索、發(fā)現(xiàn)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，順利抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提升孩子的數(shù)覺(jué)水平。

3. 基于孩子已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的選取，營(yíng)造真是的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)情境，鼓勵(lì)孩子做實(shí)驗(yàn)性探索。例如，引導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)時(shí)，嘗試從生活中收集數(shù)據(jù)，進(jìn)行整理、統(tǒng)計(jì)和分析，從中尋找數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律。

下表是一次我和孩子玩脈搏測(cè)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。經(jīng)過(guò)與孩子共同討論、交流之后發(fā)現(xiàn)，測(cè)量一個(gè)人的脈搏用20~30秒比較適宜。通過(guò)做實(shí)驗(yàn)，可以激發(fā)孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和好奇心，提升孩子“數(shù)覺(jué)”能力。

4. 引導(dǎo)合情推理，訓(xùn)練創(chuàng)造性思維。合情推理的基本格式是，首先給出一個(gè)猜想，然后通過(guò)多種方式找出理由去證實(shí)，以增強(qiáng)或否定其猜想的合理性。

給孩子一組不同類型、不同大小的平行四邊形，與孩子一起探討平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)。用量角器測(cè)量四個(gè)角，通過(guò)對(duì)折比較對(duì)角大小和對(duì)邊的大小，通過(guò)平移觀察對(duì)邊的平行性質(zhì)等。這種實(shí)踐性測(cè)量和觀察，提升了孩子的感知認(rèn)識(shí)。

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