2026AIMEⅠ卷真題及答案解析公布！核心題目深度剖析！

2026年美國數學邀請賽（AIME）第一場考試已于近期落幕。作為通往美國數學奧林匹克（USA(J)MO）的關鍵一環，本次AIME I卷的命題思路和難度水平備受關注。本文將結合已公布的真題內容，對其中具有代表性的題目進行深度解析，幫助考生、教育工作者及數學愛好者把握最新動向。

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一、整體難度與命題特點

從整體上看，2026年AIME I卷延續了其一貫的挑戰性，在知識廣度、思維深度和計算技巧上對考生提出了較高要求。題目涵蓋了代數、幾何、數論、組合數學等核心領域，并注重知識點之間的交叉融合。特別值得注意的是，題目在情境設置上更為巧妙，要求考生具備更強的數學模型構建能力和空間想象能力。

二、核心題目精選解析

以下是本次考試中幾道典型題目的思路解析，從中可窺見本次考試的命題風格。

1. 幾何與空間思維題（Problem 3）

題目回顧：一個半徑為200的半球體放置在一個半徑為200的水平圓形盤上，兩者擁有相同的中心。設區域為圓盤上滿足如下條件的點P的集合：可以在圓盤上的P點放置一個半徑為42的球體，并且該球體完全位于半球體內部。求區域的面積與圓盤面積的比值，該比值可表示為最簡分數p/q，要求計算p+q。

解析思路：此題的核心是理解三維空間中的幾何約束條件。關鍵在于分析小球在何時能完全被容納在大半球內。這需要建立空間直角坐標系，通過分析小球球心所能到達的位置范圍（通常是一個以圓盤中心為圓心的小圓區域）來確定區域。最終，面積比即為這兩個圓形區域的半徑平方之比，計算過程涉及清晰的幾何關系轉化。

2. 平面幾何與變換題（Problem 5）

題目回顧：平面上有兩點A和B，AB=1。點A繞點B逆時針旋轉一個銳角θ得到點A′。隨后，點B繞點A′順時針旋轉角度θ得到點B′。已知AB′ = 4/3。求cosθ的值，可表示為最簡分數m/n，要求計算m+n。

解析思路：本題綜合考查了旋轉變換的性質和余弦定理的應用。解題的關鍵在于通過兩次旋轉，找出線段AB′與已知長度AB及旋轉角θ之間的關系。通常需要構造三角形，并多次運用余弦定理，最終列出一個關于cosθ的方程，求解即可。

3. 復雜幾何與面積計算題（Problem 10）

題目回顧：三角形ABC的邊長分別為AB=13, BC=14, CA=15。三角形A′B′C′是由三角形ABC繞其外心旋轉得到，使得邊A′C′與邊BC垂直，且A′和B不在直線B′C′的同側。求六邊形AA′CC′BB′面積最接近的整數值。

解析思路：這是一道難度較高的綜合幾何題。解題步驟繁多：首先需要計算三角形ABC的外接圓半徑R，并利用給定垂直條件確定旋轉角。然后，六邊形的面積可以通過計算原三角形與旋轉后三角形面積之和，再減去重疊部分（或利用扇形面積公式求和）得到。過程中需要熟練運用三角恒等變換、扇形面積公式等工具。

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三、總結與啟示

通過對2026年AIME I卷部分題目的分析可以看出，競賽不僅要求考生掌握扎實的數學基礎知識，更強調在復雜情境下靈活運用知識、構建模型和進行嚴謹邏輯推理的能力。對于有志于參與高階數學競賽的學生而言，在日常學習中應注重：

1. 深化理解：不止于記住公式，更要理解其背后的原理與適用條件。

2. 加強融合：主動探索不同數學分支之間的聯系，進行跨領域解題訓練。

3. 提升思維：有意識地進行一題多解、多題歸一的訓練，鍛煉思維的創造性與靈活性。

本次AIME I卷的真題為未來的備考者提供了寶貴的學習資料。深入研究這些題目，將有助于更好地把握AIME乃至更高階段數學競賽的脈搏。

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